- Hermitesche Matrizen
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Eine Matrix A heißt hermitesch (nach Charles Hermite) oder selbstadjungiert genau dann, wenn sie gleich ihrer (hermitesch) Adjungierten A * , also gleich der transponierten und komplex konjugierten Matrix ist. D. h.
Beachte: Für die adjungierte Matrix finden sich auch die Bezeichnungen AH und A†, für die komplex konjugierte Matrix früher auch A* (Vorsicht!).
Für die Elemente einer hermiteschen Matrix gilt also:
Anders formuliert ist eine Matrix A genau dann hermitesch, wenn ihre Transponierte gleich ihrer komplex Konjugierten ist, d.h. .
Eigenschaften:
- Die Matrix ist quadratisch.
- Die Hauptdiagonalelemente sind reell.
- Der Realteil ist symmetrisch, der Imaginärteil ist schiefsymmetrisch,
- Die Eigenwerte hermitescher Matrizen sind reell, die Eigenvektoren bilden ein Orthogonalsystem.
- Hermitesche Matrizen lassen sich immer diagonalisieren.
- Im Reellen fallen die Begriffe hermitesch und symmetrisch zusammen. Reelle symmetrische Matrizen lassen sich reell diagonalisieren.
Eine Matrix B heißt schiefhermitesch oder antihermitesch genau dann, wenn sie gleich ihrer negativen Adjungierten ist:
Eigenschaften:
- Die Matrix ist quadratisch.
- Die Hauptdiagonalelemente sind rein imaginär.
- Der Realteil ist schiefsymmetrisch, der Imaginärteil ist symmetrisch.
- Die Eigenwerte schiefhermitescher Matrizen sind rein imaginär, die Eigenvektoren bilden ein Orthonormalsystem.
- Antihermitesche Matrizen lassen sich immer diagonalisieren.
- Im Reellen fallen die Begriffe schiefhermitesch und schiefsymmetrisch zusammen. Reelle schiefsymmetrische Matrizen lassen sich durch reellen Basiswechsel in blockdiagonale Form bringen mit Blöcken
Siehe auch
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