Orthogonalsystem

In der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis, Teilgebieten der Mathematik, ist ein Orthogonalsystem eine Menge von Vektoren eines Vektorraums mit Skalarprodukt (Prähilbertraum), die bestimmte Eigenschaften erfüllt.

Definition

Eine Teilmenge M eines Prähilbertraums V heißt Orthogonalsystem, wenn gilt:

1. Je zwei verschiedene Vektoren aus M sind zueinander orthogonal: $\forall v,w \in M : v \ne w \Rightarrow \langle v, w \rangle = 0$
2. Der Nullvektor ist nicht in der Menge enthalten.

Hier bezeichnet $\langle v, w \rangle$ das Skalarprodukt des Raums V, im euklidischen Raum also das euklidische Skalarprodukt.

Sind außerdem alle Vektoren aus M mit Norm 1 normiert, so spricht man von einem Orthonormalsystem.

Eigenschaften

• Orthogonalsysteme sind linear unabhängig.
• In separablen Hilberträumen (insbesondere in allen endlichdimensionalen Hilberträumen) lässt sich mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren aus jedem linear unabhängigen System ein Orthogonalsystem (bzw. Orthonormalsystem) bzw. aus jeder Basis eine orthogonale (bzw. orthonormale) Basis konstruieren.
• Für ein Orthonormalsystem M gilt die Besselsche Ungleichung

  $\sum_{e \in M} |\langle x,\,e\rangle|^2 \le \|x\|^2\quad\forall~x\in V.$

• Für jeden Vektor $x \in V$ ist die Menge der $e \in M$, für die $\langle x, e \rangle \ne 0$ gilt, höchstens abzählbar.

Beispiele

• Im $\R^n$ mit dem Standardskalarprodukt ist die Standardbasis ein Orthogonalsystem
• In L²([0,2π]) bilden die Funktionen cos(kx) ein Orthogonalsystem (Siehe auch trigonometrisches Polynom)
• In $\ell^2$ mit dem Skalarprodukt $(a,b) \mapsto \sum a_nb_n$ bilden die Folgen $(0, \cdots, 0, 1, 0, \cdots)$ ein Orthogonalsystem
• In dem Prähilbertraum der Polynome mit Grad kleiner gleich 5, $\mathcal P^5([0,1])$, versehen mit dem L²-Skalarprodukt $(a,b) \mapsto \int_0^1 ab$, bilden die Funktionen

$x \mapsto 1$ und $x \mapsto x - \frac12$

ein Orthogonalsystem.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.  Kapitel V.3 (Für den unendlichdimensionalen Fall, dort finden sich auch Beweise für die Beispiele)
• Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13 Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3.  (Für den endlichdimensionalen Fall, dort unter „Erzeugendensystem“)