Holonom

Holonom (griech.: "ganz gesetzlich") ist eine Eigenschaft eines mechanischen Systems. Ein holonomes System von Körpern zeichnet sich dadurch aus, dass sich die Lage der Körper durch n generalisierte Koordinaten $q_1, q_2, \ldots, q_n$ beschreiben lässt, die

• gänzlich unabhängig voneinander sind oder
• durch m < n Bedingungen

$a_i(q_1, q_2 ... q_n,t) = 0; i \in [1,m]$

verbunden sind. Wie viele generalisierte Koordinaten das System beschreiben, also welchen Zahlenwert der Index n hat, muss erst durch die Bestimmung der Freiheitsgrade des Systems ermittelt werden.

Die Bedingungen a_i heißen auch Zwangsbedingungen.

Enthält mindestens eine der Bedingungen a_i eine oder mehrere Geschwindigkeitskoordinaten (zeitliche Ableitung der generalisierten Koordinaten), ist also von der Form

$a_i(q_1, q_2 ... q_n, \dot{q}_1, \dot{q}_2 ... \dot{q}_n,t) = 0$

und lassen sich die Geschwindigkeitskoordinaten nicht durch Integration eliminieren, so ist das System nicht-holonom.

Beispiel für ein nicht-holonomes System

Das Rad eines Fahrzeuges rollt ohne zu Gleiten auf einer ebenen Fläche. Die Unabhängigkeit der Koordinaten x, y und φ ist durch die nicht-integrable Bedingung

$\dot{x} \cos \varphi + \dot{y} \sin \varphi=0$

eingeschränkt.

Während jede Konstellation des Systems mit den beliebig gewählten Koordinaten x, y und φ zulässig ist (3 Freiheitsgrade "im Großen"), gibt es beim Übergang von einer Konstellation zur infinitesimal benachbarten eine Einschränkung durch obige nicht-holonome Bedingung. Es existieren "im Kleinen" nur 2 Freiheitsgrade.

Noch deutlicher wird dieser Umstand, wenn der Sachverhalt auf ein vierrädriges Fahrzeug mit Vorderradlenkung übertragen wird: Auch wenn eine Parklücke ausreichend Platz für das Fahrzeug bietet, kann es unmöglich sein, hineinzugelangen.

Siehe auch

• Holonomie
• Holonome Zwangsbedingungen