Homotopie (homologische Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra ist eine Homotopie eine Abstraktion des topologischen Begriffes einer Homotopie.

Definition

Es seien X und Y Kokettenkomplexe und $f,g\colon X\to Y$ zwei Kettenabbildungen, d.h. Systeme von Abbildungen $f^k\colon X^k\to Y^k$, die mit den Differentialen in dem Sinne verträglich sind, dass

$f^{k+1}\circ d_X^k=d_Y^k\circ f^k$

gilt.

Dann ist eine Homotopie $D\colon f\simeq g$ eine Folge von Abbildungen $D^k\colon X^k\to Y^{k-1}$, so dass

f − g = Dd + dD oder ausführlicher $f^k-g^k=D^{k+1}\circ d_X^k+d_Y^{k-1}\circ D^k$

gilt.

f und g heißen homotop, wenn es eine Homotopie $D\colon f\simeq g$ gibt. Homotop zu sein ist eine Äquivalenzrelation und verträglich mit der Komposition.

Homotopien von Abbildungen zwischen Kettenkomplexen (und nicht Kokettenkomplexen) sind analog definiert.

Bedeutung

• Eine Abbildung, die homotop zur Nullabbildung ist, heißt nullhomotop. Die Kategorie der Kokettenkomplexe modulo nullhomotoper Abbildungen ist die Homotopiekategorie.

• Homotope Kettenabbildungen induzieren dieselbe Abbildung in der Kohomologie.

• Ist insbesondere C ein Kokettenkomplex und $D\colon\mathrm{id}_C\simeq0$ eine Homotopie zwischen der Identität auf C und der Nullabbildung auf C, so ist die Kohomologie von C trivial, d.h. C ist exakt. Man spricht dann auch von einer kontrahierenden Homotopie.