Horn-Formel

Horn-Formeln sind eine wichtige Teilmenge der prädikatenlogischen Formeln. Sie spielen eine zentrale Rolle in der Logischen Programmierung und sind von Bedeutung für die konstruktive Logik. Benannt wurden sie nach dem US-amerikanischen Logiker Alfred Horn.

Definition

Unter einer Klausel, auch Disjunktionsterm genannt, versteht man die Disjunktion von Literalen:

$\phi_1 \vee \phi_2 \vee ... \vee \phi_n$

wobei jedes Literal $\phi_i\!\;$ entweder ein atomarer Ausdruck oder ein negierter atomarer Ausdruck ist.

Eine Horn-Klausel ist eine Klausel mit höchstens einem positiven Literal, d.h. höchstens einem Literal, dessen atomarer Ausdruck nicht negiert ist.

Im Spezialfall der Aussagenlogik sieht eine typische Horn-Klausel also so aus:

$\neg p \or \neg q \vee \cdots \vee \neg t \vee u$

In diesem Fall sind bis auf $u\!\;$ alle atomaren Ausdrücke (in diesem Beispiel sind es Aussagenvariablen) negiert.

Eine Horn-Formel ist eine konjunktive Normalform (das heißt eine Konjunktion von Disjunktionen), bei der jeder Disjunktionsterm eine Horn-Klausel ist.

Beispiele

• $(\neg p \vee \neg q \vee r) \wedge (p \vee \neg q \vee \neg s) \wedge (\neg r \vee \neg s)$

(die dritte Horn-Klausel hat kein, die beiden anderen Horn-Klauseln haben je ein positives Literal)

• $(x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3 \vee x_4)$

Darstellungsformen von Horn-Klauseln

Horn-Klauseln lassen sich nach den Regeln der Aussagenlogik auch als materiale Implikationen darstellen; so ist im einfachsten Fall einer Horn-Klausel mit zwei Literalen bekanntlich

$\neg \phi \vee \psi = \phi \Rightarrow \psi$.

Gemäß Definition kann eine Horn-Klausel genau eines oder gar kein nicht-negiertes Atom enthalten; außerdem kann es vorkommen, dass gar keine Literale mit negierten atomaren Ausdrücken auftreten. Es gibt also drei Grundtypen von Horn-Klauseln. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über diese drei möglichen Formen einer Horn-Klausel sowohl als Disjunktion als auch als Implikation.

Name	Beschreibung	Disjunktion	Implikation	In Worten
Zielklausel	Kein positives Literal	$\neg x_1 \vee \ldots \vee \neg x_n$	$x_1 \wedge \ldots \wedge x_n \Rightarrow 0$	$x_1, \ldots, x_n$ sind nicht alle wahr
definite Hornklausel	Genau ein positives Literal	$\neg x_1 \vee \ldots \vee \neg x_n \vee y$	$x_1 \wedge \ldots \wedge x_n \Rightarrow y$	Wenn $x_1, \ldots, x_n$ wahr sind, dann ist auch y wahr
Faktenklausel	Keine negativen Literale	$y\!\;$	$1 \Rightarrow y$	$y\!\;$ ist wahr

Erfüllbarkeit

Mit Hilfe des Markierungsalgorithmus können Horn-Formeln in Polynomialzeit auf Erfüllbarkeit getestet werden (zudem ist HORNSAT P-vollständig). Man kann also in Polynomialzeit feststellen, ob eine Variablenbelegung (eine Zuordnung von Wahrheitswerten zu den in der Horn-Formel vorkommenden Literalen) existiert, für welche die Horn-Formel wahr wird. Im Unterschied dazu wird vermutet, dass allgemein für aussagenlogische Formeln kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert (siehe Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik).

Anwendung

Die Bedeutung der Horn-Klauseln liegt in der Informatik beim maschinellen Schließen. So werden in der Programmiersprache Prolog Programme als Horn-Klauseln angegeben.

Quellen

• H.D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik. Mannheim-Leipzig-Wien-Zürich; BI-Wiss. Verlag, 1992, ISBN 3-411-15603-1
• Wolfgang Rautenberg: Einführung in die Mathematische Logik. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2 (http://www.springerlink.com/content/978-3-8348-0578-2/).
• Hans-Peter Tuschik, Helmut Wolter: Mathematische Logik - kurzgefasst. Grundlagen, Modelltheorie, Entscheidbarkeit, Mengenlehre. Mannheim-Leipzig-Wien-Zürich; BI-Wiss. Verlag, 1994, ISBN 3-411-16731-9

Siehe auch

• Gentzenscher Hauptsatz
• Sequenzenkalkül