Konvergenz im p-ten Mittel

In der Stochastik existieren verschiedene Konzepte eines Grenzwertbegriffs für Zufallsvariablen. Anders als im Fall reeller Zahlenfolgen gibt es keine natürliche Definition für das Grenzverhalten von Zufallsvariablen bei wachsendem Stichprobenumfang, weil das asymptotische Verhalten der Experimente immer von den einzelnen Realisationen abhängt und wir es also formal mit der Konvergenz von Funktionen zu tun haben. Daher haben sich im Laufe der Zeit unterschiedlich starke Konzepte herausgebildet, die wichtigsten dieser Konvergenzarten werden im folgenden kurz vorgestellt.

Voraussetzungen

Wir werden die klassischen Konvergenzbegriffe immer im folgenden Modell formulieren: Gegeben sei eine Folge $X_n\;$ von Zufallsvariablen, die auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P) definiert ist. Eine Realisation dieser Folge wird üblicherweise mit $X_n(\omega)\;$ bezeichnet.

Fast sichere Konvergenz

Der Begriff der fast sicheren Konvergenz ist am ehesten mit der Formulierung für Zahlenfolgen vergleichbar. Er wird vor allem bei der Formulierung von starken Gesetzen der großen Zahlen verwendet.

Man sagt, dass die Folge X_n fast sicher gegen eine Zufallsvariable X konvergiert, falls

$P\left ( \lim_{n \rightarrow \infty} X_n = X\right) = P\left ( \left \{ \omega\in\Omega \left| \lim_{n \rightarrow \infty} X_n(\omega ) = X(\omega ) \right.\right \} \right ) = 1$

gilt. Übersetzt bedeutet dies, dass für fast alle Realisationen der Folge der klassische Konvergenzbegriff aus der reellen Analysis gilt.

Schreibweise: $X_n \xrightarrow {\text{ f. s. }} X$.

Die fast sichere Konvegenz ist äquivalent zur punktweisen Konvergenz fast überall aus der Maßtheorie.

Konvergenz im p-ten Mittel

Ein integrationstheoretischer Ansatz wird mit dem Begriff der Konvergenz im p-ten Mittel verfolgt. Es werden dabei nicht einzelne Realisationen betrachtet, sondern Erwartungswerte der Zufallsvariablen.

Formal konvergiert $X_n\;$ im p-ten Mittel gegen eine Zufallsvariable X, falls

$\lim_{n \rightarrow \infty} E[|X_n - X|^p] = 0$

gilt. Dabei wird $p \ge 1\;$ vorausgesetzt. Dies bedeutet, dass die Differenz $X_n-X\;$ im L^p-Raum $\mathcal L^p(P)$ gegen 0 konvergiert. Man bezeichnet diese Konvergenz daher auch als $\mathcal L^p$- Konvergenz.

Wegen der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte folgt für $q>p\;$ aus der Konvergenz im q-ten Mittel die Konvergenz im p-ten Mittel.

Stochastische Konvergenz

Ein etwas schwächerer Konvergenzbegriff ist die stochastische Konvergenz oder Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Wie der Name bereits suggeriert, werden nicht spezielle Realisationen der Zufallsvariablen betrachtet, sondern Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse. Eine klassische Anwendung der stochastischen Konvergenz sind schwache Gesetze der großen Zahlen.

Die mathematische Formulierung lautet: Die Folge $X_n\;$ konvergiert stochastisch gegen eine Zufallsvariable X, falls

$\forall \varepsilon > 0:\lim_{n \rightarrow \infty} P(|X_n - X| > \varepsilon) = 0,$

das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand zwischen der beobachteten und der theoretischen Größe größer ist als jedes positive (insbesondere: jedes beliebig nahe an null liegende positive) ε, geht gegen null, wenn die Anzahl der Realisationen gegen unendlich geht.

Kürzere Schreibweisen: $P\text{-}\lim_{n \rightarrow \infty} X_n = X\;$ oder $\text{p}\lim (X_n) = X$ oder $X_n \stackrel{P}{\rightarrow} X$.

Man kann zeigen, dass eine Folge $X_n\;$ genau dann stochastisch gegen X konvergiert, falls

$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_\Omega \mathrm{min}(1,|X_n-X|) dP = 0,$

d.h. die stochastische Konvergenz entspricht der Konvergenz bezüglich einer Metrik. Der Raum aller Zufallsvariablen versehen mit dieser Metrik bildet einen topologischen Vektorraum, der im Allgemeinen nicht lokal konvex ist.

Die stochastische Konvergenz entspricht der Konvergenz dem Maße nach aus der Maßtheorie.

Schwache Konvergenz

Der vierte prominente Konvergenzbegriff ist der der schwachen Konvergenz (für Maße) oder Konvergenz in Verteilung (für Zufallsvariablen).

Definition für Maße

Sei (Ω,d) ein metrischer Raum und Σ die dazugehörige Borelsche σ-Algebra. Eine Folge μ_n von endlichen Maßen auf dem Messraum (Ω,Σ) konvergiert schwach gegen ein Maß μ, falls für alle beschränkten und bzgl. (Ω,d) stetigen Funktionen $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$

$\lim_{n \rightarrow \infty} \int f d\mu_n = \int f d\mu$

gilt.^[1]

Anwendung auf Zufallsvariablen

Eine Folge von Zufallsvariablen $X_n\;$ konvergiert in Verteilung gegen die Zufallsvariable X, wenn die Folge der induzierten Bildmaße $\mu_n(A):=P(X_n\in A)$ schwach gegen das Bildmaß $\mu(A):=P(X\in A)$ konvergiert. Äquivalent dazu ist die Charakterisierung, dass für die Verteilungsfunktionen $F_n(x)\;$ von $X_n\;$ und $F(x)\;$ von $X\;$

$\lim_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$

punktweise in allen Stetigkeitspunkten von $F\;$ gilt ^[2]. Die wohl bekanntesten Anwendungen der Konvergenz in Verteilung sind zentrale Grenzwertsätze.

Da die Konvergenz in Verteilung ausschließlich durch die Bildmaße bzw. durch die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen definiert sind, ist es nicht notwendig, dass die Zufallsvariablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind.

Als Notation verwendet man in der Regel $X_n \stackrel{w}{\rightarrow} X$ oder $X_n \stackrel{\mathcal D}{\rightarrow} X$. Die Buchstaben „W“ bzw. „D“ stehen dabei für die entsprechenden Begriffe im Englischen, also weak convergence bzw. convergence in distribution.

Zusammenhang mit charakteristischen Funktionen

Zwischen der punktweisen Konvergenz der charakteristischen Funktion $\varphi_{X_n}(t)$ einer Folge von Zufallsvariablen X_n und der schwachen Konvergenz von X_n besteht folgender Zusammenhang:

$X_n \stackrel{w}{\rightarrow} X \Rightarrow \varphi_{X_n}(t) \to \varphi_X(t) \;\; \text{punktweise} \;\; \forall t \in \R$

Für die Gegenrichtung ist noch die Stetigkeit der Grenzfunktion im Nullpunkt nachzuweisen:

$\varphi_{X_n}(t) \to \varphi_X(t) \;\; \text{punktweise} \;\; \forall t \in \R \;\; \and \;\; \varphi_X(t) \; \text{stetig in} \; t=0 \Rightarrow X_n \stackrel{w}{\rightarrow} X$

Oftmals ist der Nachweis der punktweisen Konvergenz der charakteristischen Funktion einfacher als der direkte Nachweis der Konvergenz der Verteilungsfunktionen. Mit der Eindeutigkeit der charakteristischen Funktion lässt sich so auch der Grenzwert der Zufallsvariable X_n bestimmen.

Zusammenhang zwischen den einzelnen Konvergenzarten

In der Reihe der wichtigsten Konvergenzbegriffe in der Stochastik stellen die beiden zuerst vorgestellten Begriffe die stärksten Konvergenzarten dar. Sowohl aus fast sicherer Konvergenz ^[3] als auch aus Konvergenz im p-ten Mittel^[4] lässt sich immer die stochastische Konvergenz einer Folge von Zufallsvariablen ableiten. Ferner folgt aus stochastischer Konvergenz automatisch auch die Konvergenz in Verteilung, die die schwächste der hier vorgestellten Konvergenzarten ist.^[5]

In Ausnahmefällen gelten auch noch andere Implikationen: Wenn eine Folge von Zufallsvariablen in Verteilung gegen eine Zufallsvariable X konvergiert und X fast sicher konstant ist, dann konvergiert diese Folge auch stochastisch.

Aus der Konvergenz im p-ten Mittel folgt im Allgemeinen nicht die fast sichere Konvergenz. Es gilt bei Konvergenz im p-ten Mittel aber immer, dass es eine Teilfolge gibt, die fast sicher konvergiert.

Umgekehrt lässt sich aus fast sicherer Konvergenz im Allgemeinen auch keine Konvergenz im p-ten Mittel schließen. Allerdings ist dieser Schluss erlaubt, wenn es eine gemeinsame Majorante in L^p gibt (siehe Satz von der majorisierten Konvergenz)

Beispiel

Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P) mit Ω = [0,1], Σ den Borelmengen und P dem Lebesgue-Maß betrachte man die Zufallsvariable X(ω) = 0 sowie die Folge X_n(ω) der Zufallsvariablen, die für n = 2^k + m mit $0\le m < 2^k$ (jedes natürliche n besitzt eine eindeutige Zerlegung dieser Art) folgendermaßen definiert ist^[6][7]:

$X_n(\omega)= \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{falls } \frac{m}{2^k} \le \omega \le \frac{m+1}{2^k}\\ 0 & \mbox{sonst.} \end{matrix}\right.$

Wegen

$E[|X_n - X|^p] = \int_0^1 |X_n(\omega)-0|^p d\omega = \frac{1}{2^k}\to 0$

konvergiert X_n im p-ten Mittel gegen X. Aus dem oben beschriebenen Zusammenhang zwischen den einzelnen Konvergenzarten folgt, dass X_n ebenso stochastisch gegen X konvergiert, wie sich auch aus

$P(|X_n - X| > \varepsilon) \leq \frac{1}{2^k}\to 0$ für jedes $\varepsilon>0$

erkennen lässt.

Die Funktionen X_n sind sozusagen immer dünner werdende Zacken, die über das Intervall [0,1] laufen. Für jedes fixe $\omega\in [0,1]$ gilt aber X_n(ω) = 1 für unendliche viele n, ebenso ist X_n(ω) = 0 für unendlich viele n, sodass also keine fast sichere Konvergenz von X_n vorliegt.

Zu jeder Teilfolge $X_{n_i}$ von X_n lässt sich allerdings eine Teilteilfolge $X_{n_{i_j}}$ finden, die gegen X konvergiert. Gäbe es eine Topologie der fast sicheren Konvergenz, so würde aus dieser Eigenschaft folgen, dass X_n fast sicher gegen X konvergiert. Dieses Beispiel zeigt also auch, dass es keine Topologie der fast sicheren Konvergenz geben kann.^[8]

Einzelnachweise

1. ↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Chapter 4.5
2. ↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 4.5.4
3. ↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 2.5.5
4. ↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 2.5.1
5. ↑ Virtual Laboratories in Probability and Statistics, Excercise 3.8.3
6. ↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Examples 2.5.6
7. ↑ Bernard R. Gelbaum, John M.H. Olmsted: Counterexamples in Analysis. Dover Publications, ISBN 0-486-42875-3. 40. Sequences of functions converging in different senses. p 109ff
8. ↑ J. Cigler, H.-C. Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00121-6, S. 88, Aufgabe 6.

Literatur

• Heinz Bauer: Wahrscheinlickeitstheorie. 4 Auflage. De Gruyter, Berlin 1991, ISBN 3110121905, S. 34 (Konvergenz von Zufallsvariablen und Verteilungen). 
• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Auflage, De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013625-2, ab S.91 (§15 Konvergenzsätze) und ab S.128 (§20 Stochastische Konvergenz).
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4. Auflage, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2, (beschreibt ausführlich die Zusammenhänge zwischen den verschiedennen Konvergenzarten).

Siehe auch

• Maßtheoretische Konvergenzbegriffe