Hölderstetigkeit

Die Hölder-Stetigkeit (nach Otto Hölder) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist. Sie ist eine Verallgemeinerung der Lipschitz-Stetigkeit.

Definition

Sei $U \subset \mathbb{R}$ offen und $0 < \alpha \le 1$. Eine Abbildung $f:U\rightarrow \R$ heißt hölderstetig zum Exponenten α genau dann, wenn eine positive reelle Zahl C existiert, so dass für alle $x,y\in U$ gilt:

$\mid f(x)-f(y)\mid\leq C\mid x-y \mid^\alpha$.

Eine Verallgemeinerung auf metrische Räume ist in natürlicher Weise gegeben.

Eigenschaften hölderstetiger Funktionen

Für α = 1 ergibt sich die Lipschitz-Stetigkeit. Jede hölderstetige Funktion ist gleichmäßig stetig: Setze für gegebenes $\varepsilon>0$ etwa $\delta:=(\varepsilon/C)^{1/\alpha}$. Dann folgt aus $|x-y|\le\delta$ wie gewünscht $|f(x)-f(y)|\le\varepsilon$. Die Umkehrung gilt nicht, wie folgendes Beispiel zeigt:

Sei $a\in(0,1)$ eine beliebig gewählte Konstante. Die auf dem Intervall [0,a] gemäß

$f(x):=\left\{\begin{array}{cl}-1/\ln x&\mbox{für }0<x\le a\\0&\mbox{bei }x=0\end{array}\right.$

definierte Funktion f ist laut Satz von Heine gleichmäßig stetig. Wäre sie auch hölderstetig, dann gäbe es Konstanten C > 0 und $\alpha\in(0,1]$ mit $f(x)\le Cx^\alpha$ für alle $x\in(0,a]$, also insbesondere

$C\ge\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{-x^{-\alpha}}{\ln x}=\lim\limits_{x\downarrow 0}\alpha x^{-\alpha}$

laut Regel von L’Hospital, was einen Widerspruch ergibt.

Hölder-Raum

Ist $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ offen und beschränkt, so ist

$C^{k,\alpha}(\Omega):=\left \{ f: \Omega \to \R \Big | ||f||_{C^{k,\alpha}} < \infty \right \}$

mit der Norm

$\|f\|_{C^{k,\alpha}}:=\sum_{|\beta|\leq k}\underbrace{\sup_{x\in\overline{\Omega}}{\|D^\beta f(x)\|}}_{=:\, ||D^\beta f(x)||_{C(\Omega)}}+\sum_{|\beta|= k}\underbrace{\sup_{x\neq y}{\frac{|D^\beta f(x)-D^\beta f(y)|}{|x-y|^\alpha}}}_{=:\,[D^\beta f]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}}$

ein Banachraum, der Hölder-Raum. Dabei sind die Laufvariablen β als Multiindizes zu verstehen. In der ersten Summe wird über die Supremumsnormen, in der zweiten über die so genannten Hölder-Halbnormen summiert.

Literatur

• H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer-Verlag, 2002