- Regel von L’Hospital
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Mit der Regel von (de) L’Hospital (gesprochen [lopi'tal], auch L’Hôpital geschrieben, oder als l'Hospitalsche Regel bezeichnet) lassen sich Grenzwerte von Funktionen, die sich als Quotient zweier gegen 0 konvergierender oder bestimmt divergierender Funktionen schreiben lassen, mithilfe der ersten Ableitungen dieser Funktionen berechnen.
Die Regel ist nach Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital (1661–1704) benannt. L’Hospital veröffentlichte sie 1696 in seinem Buch Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, dem ersten Lehrbuch der Differentialrechnung. Er hatte sie aber nicht selbst entdeckt, sondern von Johann Bernoulli übernommen.
Inhaltsverzeichnis
Anwendung
Die Regel von L’Hospital erlaubt es in vielen Fällen, den Grenzwert einer Funktion zu bestimmen, wenn sich der Funktionsterm so ausdrücken lässt, dass beim Erreichen der Grenze ein unbestimmter Ausdruck entsteht.
Alle Anwendungen der Regel lassen sich auf die Aufgabe zurückführen, den Grenzwert
zu bestimmen, wenn sowohl
als auch
gilt,
ist also ein unbestimmter Ausdruck des Typs
.
Die Regel von L’Hospital besagt dann, dass
gilt, falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. f' und g' bezeichnen dabei die ersten Ableitungen der Funktionen f und g.
Die rechte Seite dieser Gleichung lässt sich häufig einfach berechnen. Führt auch sie wieder auf einen unbestimmten Ausdruck, so kann man darauf erneut die Regel von L’Hospital anwenden, was möglicherweise in endlich vielen Schritten zum Ziel führt. Starres Festhalten an der Regel von L’Hospital kann aber auch zu längeren und schwierigeren Rechnungen führen.
Die Umkehrung der Regel gilt nicht: Daraus, dass der Grenzwert
existiert, folgt nicht zwingend, dass auch
existiert.
Präzise Formulierung
Sei
ein nichtleeres offenes Intervall und seien
differenzierbare Funktionen, die für
(x geht von unten gegen x0) beide gegen 0 konvergieren oder beide bestimmt divergieren.
Wenn
für alle
gilt sowie
für
gegen einen Wert c konvergiert oder bestimmt divergiert, so tut dies auch
. Analoges gilt, wenn man
überall durch
(x geht von oben gegen
) ersetzt.
Ist I echte Teilmenge eines offenen Intervalls, auf dem die genannten Voraussetzungen erfüllt sind, gilt also insbesondere
.
Der Satz gilt auch für uneigentliche Intervallgrenzen
.
Beweisskizze
Der Satz lässt sich auf den Erweiterten Mittelwertsatz zurückführen, nach dem unter den gegebenen Voraussetzungen für jedes
ein
existiert, so dass
,
da f(x0) = g(x0) = 0. Man konstruiert den Grenzübergang
.
Durch Variablentransformation
lässt sich der Satz auf den uneigentlichen Fall erweitern.
Anschauliche Erklärung
Die Regel beruht darauf, dass sich Funktionen in der Nähe einer Stelle x0 durch ihre Tangenten annähern lassen.
Ist
, so lauten die Tangentengleichungen
und
. Ihr Quotient
ist also eine Näherung für
.
Anwendungsbeispiele
Grenzübergang bei x0 = 0
Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw. Divergenz von
. Dazu setzt man
und
. Es gilt
und
.
Falls
für
konvergiert oder bestimmt divergiert, darf die Regel von L’Hospital angewandt werden. Nun gilt
für
.
Somit ist die Regel von L’Hospital anwendbar. Mit dieser folgt die Konvergenz von
mit Grenzwert 0.
Grenzübergang im Unendlichen
Zu untersuchen ist die Konvergenz bzw. Divergenz von
. Man setzt
und
. Sowohl
als auch
ist bestimmt divergent.
Falls
für
konvergiert oder bestimmt divergiert, dürfte die Regel von L’Hospital angewandt werden. Nun gilt
für
,
d. h.,
ist bestimmt divergent. Daher darf die Regel von L’Hospital angewandt werden. Aus ihr folgt die bestimmte Divergenz
.
Warnbeispiele
Beachtung der Voraussetzungen
Sei
und
. Für
liegt der Fall
vor.
Die Regel von L’Hospital kann aber nicht angewandt werden, denn
ist für
unbestimmt divergent, da eine periodische Funktion vorliegt. Trotz des Versagens der Regel von L’Hospital konvergiert
für
. Es ist nämlich
.
Landau-Kalkül
Wenn man den Grenzwert
berechnen möchte und die Taylorentwicklung von Nenner und Zähler um x0 kennt, ist es oft einfacher, den Grenzwert über den
-Kalkül zu bestimmen, als mehrfach die Regel von L’Hospital anzuwenden.
So gilt beispielsweise
für
.
Literatur
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 12. Auflage. Teubner, Stuttgart/Leipzig, 1998.
Weblinks
- Die Regel von L’Hospital bei MathWorld (englisch)
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