Regularitätsklasse

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Die Regularitätsklasse ist ein Begriff aus der Mathematik. Es handelt sich um eine Eigenschaft, welche man Funktionen zuordnet. Sie gibt an, wie oft man eine Funktion differenzieren kann.

Definition

Im Folgenden werden Regularitätsklassen für Funktionen auf glatten Mannigfaltigkeiten eingeführt. Die einfachsten Beispiele für glatte Mannigfaltigkeiten sind der reelle Zahlenraum $\R$ beziehungsweise Teilgebietete dieses Raumes. Seien M,N zwei glatte Mannigfaltigkeiten, so sagt man

• die Funktion $f:M \rightarrow N$ gehört zur Regularitätsklasse C⁰(M), wenn sie auf M stetig ist.

• Eine Funktion gehört zur Regularitätsklasse C^k(M), falls sie auf M k-mal stetig differenzierbar ist. Dabei ist $k \in \N \cup \{\infty\}$

• Seien M,N komplexe Mannigfaltigkeiten, also beispielsweise Teilgebiete der komplexen Zahlenebene $\C$. So sagt man eine Funktion $f : M \rightarrow N$ ist analytisch beziehungsweise gehört zur Regularitätsklasse C^ω(M), falls ihre Taylorreihe gegen diese Funktion konvergiert.

Die Teilmengenrelation $C^0(M) \supset C^k(M) \supset C^\omega(M)$ ist leicht ersichtlich.

Hölderstetigkeit

Es können auch nicht ganzzahlige Regularitätsklassen definiert werden: Die Funktion $f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ gehört zur Regularitätsklasse C^a(Ω) mit $a\in(0,1)$, wenn es eine Konstante $C\in(0,\infty)$ gibt, so dass

| f(x) − f(y) | < = C | x − y | ^a

für alle $x,y\in\Omega$. f heißt dann auch hölderstetig.

Eine weitere Möglichkeit reellwertige Regularitätsklassen zu definieren erhält man durch die Sobolev-Räume.

Beispiele

• Exponentialfunktion $\exp : \C \rightarrow \C$ gehört zur Regularitätsklasse $C^\omega(\R)$
• Logarithmusfunktion $\log : \R \backslash \{0\} \rightarrow \R$ ist ein Element von $C^\infty(\R \backslash \{0\})$
• Determinantenfunktion $\det : \R^{n\times n} \rightarrow \R$ ist einmal differenzierbar und gehört somit zur Regularitätsklasse $C^1(\R^{n\times n})$.