- Regularitätsklasse
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Die Regularitätsklasse ist ein Begriff aus der Mathematik. Es handelt sich um eine Eigenschaft, welche man Funktionen zuordnet. Sie gibt an, wie oft man eine Funktion differenzieren kann.
Definition
Im Folgenden werden Regularitätsklassen für Funktionen auf glatten Mannigfaltigkeiten eingeführt. Die einfachsten Beispiele für glatte Mannigfaltigkeiten sind der reelle Zahlenraum
beziehungsweise Teilgebietete dieses Raumes. Seien M,N zwei glatte Mannigfaltigkeiten, so sagt man
- die Funktion
gehört zur Regularitätsklasse C0(M), wenn sie auf M stetig ist.
- Eine Funktion gehört zur Regularitätsklasse Ck(M), falls sie auf M k-mal stetig differenzierbar ist. Dabei ist
- Seien M,N komplexe Mannigfaltigkeiten, also beispielsweise Teilgebiete der komplexen Zahlenebene
. So sagt man eine Funktion
ist analytisch beziehungsweise gehört zur Regularitätsklasse Cω(M), falls ihre Taylorreihe gegen diese Funktion konvergiert.
Die Teilmengenrelation
ist leicht ersichtlich.
Hölderstetigkeit
Es können auch nicht ganzzahlige Regularitätsklassen definiert werden: Die Funktion
gehört zur Regularitätsklasse Ca(Ω) mit
, wenn es eine Konstante
gibt, so dass
- | f(x) − f(y) | < = C | x − y | a
für alle
. f heißt dann auch hölderstetig.
Eine weitere Möglichkeit reellwertige Regularitätsklassen zu definieren erhält man durch die Sobolev-Räume.
Beispiele
- Exponentialfunktion
gehört zur Regularitätsklasse
- Logarithmusfunktion
ist ein Element von
- Determinantenfunktion
ist einmal differenzierbar und gehört somit zur Regularitätsklasse
.
- die Funktion
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