- Injektives Objekt
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Injektives Objekt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.
Inhaltsverzeichnis
Definition
In einer Kategorie
heißt ein Objekt Q injektiv, wenn es zu jedem Monomorphismus
und jedem
ein
gibt, so dass
ist. Das nebenstehende Diagramm ist kommutativ. Also Q ist injektiv, wenn für alle Monomorphismen
die induzierte Abbildung
surjektiv ist.
Beispiele
- In der Kategorie der Mengen Me ist jede Menge injektiv.
- Injektive Objekte in der Kategorie der abelschen Gruppen sind die teilbaren Gruppen, d.h. diejenigen Gruppen, für die die Multiplikation mit einer ganzen Zahl ungleich Null surjektiv ist; Beispiele sind
und
.
- In der Kategorie der Vektorräume über einem Körper ist jedes Objekt injektiv.
- Jedes terminale Objekt in einer Kategorie ist injektiv.
- Ist
eine Familie von injektiven Objekten, so ist das Produkt dieser Familie injektiv, falls es existiert.
- Hat die Kategorie ein Nullobjekt so ist ein Produkt von injektiven Objekten genau dann injektiv, wenn jedes Qi injektiv ist.
- Ist Q injektiv, so ist jeder Monomorphismus
ein Schnitt (Das heißt es gibt ein
mit
).
- In der Kategorie der topologischen Räume ist die Menge { − 1,1} nicht injektiv, denn die Inklusionsabbildung ist kein Schnitt. Es gibt keine stetige surjektive Funktion
. Dies ist eine Folgerung aus dem Zwischenwertsatz.
Injektive Moduln
Für einen Rechtsmodul Q über einem Ring R sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Q ist in der Kategorie der Rechtsmoduln injektiv.
- Für jeden Monomorphismus
gibt es ein
mit
. Dabei ist
die Identität auf Q.
- Für jedes Rechtsideal
und jedem Homomorphismus
gibt es ein
, so dass
ist.
Die dritte Aussage des Satzes ist das Baersche Kriterium (nach Reinhold Baer).[1]
Beispiele
- Ein Ring ist halbeinfach genau dann, wenn jeder Modul über dem Ring injektiv ist. Daher ist jeder Vektorraum über einem Schiefkörper injektiv. Aus dem Baerschen Kriterium ergibt sich, dass über Hauptidealringen genau die teilbaren Moduln injektiv sind. Dabei ist ein Modul teilbar genau dann, wenn
ist für alle Ringelemente r.
- Ist
eine Familie von Moduln, so ist das direkte Produkt der Familie genau dann injektiv, wenn jedes Qi injektiv ist.
- Ein Ring ist noethersch genau dann, wenn die direkte Summe von injektiven Moduln injektiv ist. Dies ist eine Verallgemeinerung der entsprechenden Aussage über teilbare abelsche Gruppen.
- Über einem erblichen (hereditären) Ring ist jedes epimorphe Bild eines injektiven Moduls injektiv. Dies ist eine Verallgemeinerung des entsprechenden Satze über teilbare Gruppen.
- Über einem Integritätsring ist ein torsionsfreier Modul genau dann injektiv, wenn er teilbar ist.
- Ist
ein unitärer Ringhomomorphismus , so ist R auf beiden Seiten ein S- Modul. Ist Q ein weiterer S- Modul, so trägt die Menge der S-Homomorphismen
auf der rechten Seite eine R-Modulstruktur durch
. Es gilt: Ist Q als S Modul injektiv, so ist
ein injektiver R-Modul. Besonders wichtig ist dies im Fall
. Ist D eine teilbare Gruppe, also als
-Modul injektiv, so ist
ein injektiver R-Modul.
Es gibt genügend viele injektive Moduln
Jeder Modul M kann monomorph in einen injektiven Modul abgebildet werden. [2]
Injektive Hülle
Ein Untermodul
heißt groß , wenn {0} der einzige Untermodul von Q ist, der mit U den Durchschnitt {0} hat. Ein Monomorphismus
heißt wesentlich, wenn α(M) groß in Q ist. Es gilt:
Jeder Modul kann wesentlich in einen injektiven Modul Q abgebildet werden. Der Modul Q ist durch diese Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Er heißt injektive Hülle von M und wird oft mit I(M) bezeichnet[3].
Unzerlegbare injektive Moduln
Ein Modul M heißt direkt unzerlegbar, wenn er nicht direkte Summe zweier Untermoduln ungleich Null ist. Für einen Modul M sind folgende Aussagen äquivalent.
- Jeder Untermodul ungleich dem Nullmodul ist groß in M.
- Die injektive Hülle I(M) ist direkt unzerlegbar.
- I(M) ist die injektive Hülle eines jeden Untermoduls ungleich Null.
- Der Endomorphismenring von I(M) ist lokal.
Ein Modul, der die äquivalenten Eigenschaften des Satzes erfüllt heißt uniform . M wird dann oft auch irreduzibel (durchschnittsirreduzibel) genannt.
Beispiele
- Jeder einfache Modul ist uniform, besitzt also eine direkt unzerlegbare injektive Hülle.
- Ist
ein Primideal in dem kommutative Ring R, so ist
uniform. Insbesondere ist jeder Integritätsring uniform als Modul.
Einzelnachweise
- ↑ Friedrich Kasch, "Moduln und Ringe", Teubner, Stuttgart 1977, Seite 113, ISBN 3-519-02211-7
- ↑ Friedrich Kasch, "Moduln und Ringe", Teubner, Stuttgart 1977, Seite 114, ISBN 3-519-02211-7
- ↑ Friedrich Kasch, "Moduln und Ringe", Teubner, Stuttgart 1977, Seite 118, ISBN 3-519-02211-7
Siehe auch
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