- Untermodul
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Der Begriff Untermodul verallgemeinert den Begriff des Untervektorraumes und den Begriff der Untergruppe einer kommutativen Gruppe auf Moduln.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei M ein Rechtsmodul über dem unitären Ring R. Eine Untergruppe (U, + ) von M heißt Untermodul, wenn U abgeschlossen ist bezüglich der Multiplikation mit Elementen aus R . Das bedeutet: Für alle
und alle
ist
. Entsprechend wird der Begriff für Linksmoduln erklärt.
Beispiele und weitere Definitionen
- Jeder Modul M besitzt den trivialen Untermodul {0} und den Untermodul M.
- Ist M ein Rechtsmodul und
, so ist
ein Untermodul von M. Es ist der von m erzeugte zyklische Untermodul.
- Ist I ein Rechtsideal in dem Ring R, so ist I ein Untermodul von R als Rechtsmodul.
- Sind U,V Untermoduln von M, so ist
ein Untermodul von M. Es ist der kleinste Untermodul von M, der U und V enthält.
- Ist
eine Familie von Untermoduln, so ist
ein Untermodul. Es ist der größte Untermodul, der in allen Ui enthalten ist.
- Die Vereinigung von Untermoduln ist im allgemeinen kein Untermodul. So sind
Untermoduln von
, aber
.
Summe von Untermoduln
- Ist MR ein Rechtsmodul über dem Ring R und
eine Familie von Untermoduln, so ist
ein Untermodul. Es ist die Summe der Untermoduln
.
- Ist
eine Teilmenge von MR. Dann ist
der kleinste Untermodul von MR, welcher die Menge X enthält. Ist
so erzeugt
den Untermodul
.Man sagt auch
ist ein Erzeugendensystem von
.
- Wird der Untermodul
von einer endlichen Menge X erzeugt, so heißt U endlich erzeugt. Ist die Menge
, so ist
.
- Ein Modul
heißt einfach, wenn der einzige echte Untermodul {0} ist. Ein Untermodul
heißt maximal, wenn für alle
gilt: U = V oder V = MR. Ein Modul
ist genau dann einfach, wenn jeder zyklische Untermodul
schon gleich MR ist. Ist
ein echter Untermodul des endlich erzeugten Moduls MR, so ist U in einem maximalen Untermodul enthalten.[1]
Direkte Summe von Untermoduln
Es wird der Begriff der inneren direkten Summe von Vektorräumen auf Moduln übertragen. In der Kategorie der Moduln über einem Ring sind die Verhältnisse schwieriger. So hat jeder Vektorraum eine Basis, das bedeutet jeder Vektorraum ist direkte Summe von zyklischen Unterräumen. Dies, unter vielem anderen, ist bei Moduln nicht mehr der Fall.
Definition
Sei
eine Familie von Untermoduln des Rechtsmoduls M und
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Für alle
ist:
.
- Für alle endlichen Teilmengen
gilt: Ist
, wobei
für alle
, so gilt
für alle
. Jedes
lässt sich daher auf genau eine Weise als Summe von Elementen aus den
darstellen.
Trifft eine — und damit beide Aussagen des Satzes — zu, so heißt V die direkte Summe der Ui. Diese direkte Summe wird mit
bezeichnet. Der Untermodul
heißt direkter Summand von M, wenn es einen Untermodul
gibt mit
. Der Modul M heißt direkt unzerlegbar oder einfach unzerlegbar, wenn er keinen direkten Summanden ungleich {0} hat.
Beispiele
- Ist V ein Vektorraum über dem Körper Schiefkörper und
eine Basis , so ist
.
- Jeder einfache Modul ist direkt unzerlegbar.
- Ist R ein Integritätsring und KR sein Quotientenkörper, so ist KR als Modul über R unzerlegbar.
Besondere Untermoduln
Maximale Untermoduln
Ein Untermodul
heißt maximal, wenn nur M den Untermodul echt enthält (
).
Es ist
maximal genau dann, wenn der Faktormodul M / U einfach ist. Jeder echte Untermodul eines endlich erzeugten Modls ist in einem maximalen Untermodul [2]. Das heißt insbesondere hat jeder Ring maximale Ideale. Es gibt aber auch Moduln, die keine maximalen Untermoduln enthalten. So hat keine
keine maximalen Untermoduln.
Große Untermoduln
Definition
Für einen Untermodul
sind äquivalent:
- Für alle Untermoduln
mit
ist V = {0}.
- Zu jedem
gibt es ein
mit
.
Erfüllt ein Untermodul
eine der äquivalenten Eigenschaften, dann heißt U groß in M. Manchmal wird dies mit
abgekürzt.[3]
Beispiele
- In
als
-Modul ist jeder Untermodul
groß.
- Das letzte Beispiel kann verallgemeinert werden. Ist F eine torsionsfreie abelsche Gruppe, so ist eine Untergruppe
groß genau dann, wenn die Faktorgruppe F / U torsionsvoll ist.
- Ist p eine Primzahl und n eine natürliche Zahl größer 1, so ist in
jeder Untermodul groß.
- In einem halbeinfachen Modul M ist nur der Modul selber groß in sich.
Eigenschaften
- Ist U groß in M und
, so ist V groß in M.
- Ist U groß in V und V groß in W, so ist U groß in W.
- Ist
eine nach oben filtrierende Menge von Untermoduln von M und ist U groß in jedem Vi, so ist U groß in
.
- Sind
zwei Familien von Untermoduln von M. Ud ist die Summe der Ai direkt, so gilt: Sind alle Ui groß in Ai, so ist
groß in
.
- Ein Untermodul
heißt abgeschlossen , wenn er in keinem echten Obermodul groß ist. Zu jedem Untermodul
gibt es einen abgeschlossenen Untermodul
, so dass U groß in
ist. Es ist
.
- Sind A,U zwei Untermoduln von M mit
, so gibt es einen Obermodul H von U, welcher maximal bezüglich der Eigenschaft
ist. Es ist
groß in M. Es ist H ein Durchschnittskomplement von A. Ein Durchschnittskomplement ist keineswegs eindeutig bestimmt.
- Ist
, so gibt es zu A ein Durchschnittskomplement A' von A. Zu A' gibt es ein Durchschnittskomplement A'' von A', mit
. Es ist A groß in A'' und A'' abgeschlossen in M.
Der Sockel eines Moduls
Ist M ein Modul, so ist der Durchschnitt aller großen Untermoduln gleich der Summe aller einfachen Untermoduln. Dieser Untermodul heißt Sockel von M. Er ist der größte halbeinfache Untermodul von M. Er wird mit So(M) bezeichnet. Ist
ein Homomorphismus zwischen Moduln M,N, so ist
. Insbesondere heißt dies, dass der Sockel ein S − Untermodul von M ist, wenn S der Endmorphismenring von M ist. Der Sockel des Ringes R als R Rechtsmoduls ist ein zweiseitiges Ideal. Außerdem ist So(So(M)) = So(M). Der Sockel ist ein idempotentes Präradikal. Er ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist
eine Familie von Untermoduln, deren Summe direkt ist, so ist
.
Kleine Untermoduln
Ein Untermodul
heißt klein in M, wenn für alle
gilt: Ist A + U = M, so ist U = M.
Beispiele
- {0} ist in jedem Obermodul klein.
- In einer freien abelschen Gruppe ist nur der Modul {0} klein.
- In
ist jede endlich erzeugte Untergruppe klein als
-Untermodul.
Eigenschaften
- Die endliche Summe kleiner Untermoduln ist klein.
- Ist
ein Homomorphismus und ist A klein in M, so ist f(A) klein in N.
- Ein zyklischer Untermodul
ist nicht klein in M genau dann, wenn es einen maximalen Untermodul
gibt, mit
.
Das Radikal eines Moduls
Die Summe aller kleinen Untermoduln von M ist gleich dem Durchschnitt aller maximalen Untermoduln von M. Dieser Untermodul heißt Radikal von M. Er wird mit
bezeichnet.
Eigenschaften des Radikals
- Ist
ein Homomorphismus, so ist
(Siehe auch Jacobson-Radikal). Das Radikal ist ein Unterfunktor der Identität. Insbesondere ist
ein zweiseitiges Ideal.
. Der kleinste Untermodul C von M mit
ist
.
- Das Radikal ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist
eine Familie von Moduln, so gilt:
.
.
- Ist M endlich erzeugt, so ist
klein in M.
- Ist M endlich erzeugt und das Ideal
, dann ist
klein in M. Dies ist das Lemma von Nakayama.
Einzelnachweise
- ↑ Friedrich Kasch Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 26 ISBN 3-519-02211-7
- ↑ Friedrich Kasch Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 34 ISBN 3-519-02211-7
- ↑ Frank W. Anderson, Kent R. Fuller, " Rings and Categories of Modules", Springer, 1992, Seite 72, ISBN 3-540-97845-3
Literatur
- Friedrich Kasch Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
- Robert Wisbauer Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.
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