Amalgamierte Untergruppe

Das amalgamierte (freie) Produkt von Gruppen G_i nach der Gruppe U oder das freie Produkt der Gruppen G_i mit der amalgamierten Untergruppe U ist eine mit dem freien Produkt von Gruppen verwandte mathematische Konstruktion. Dabei wird zum Einen das freie Produkt der Gruppen gebildet, die allerdings alle eine zur (Unter-)Gruppe U isomorphe Untergruppe enthalten müssen. Zum Anderen werden diese Untergruppen durch geeignete Identifikation von Elementen und Anpassung der Gruppenverknüpfung dann innerhalb des freien Produktes bildlich gesprochen miteinander verschmolzen und in diesem Sinne amalgamiert^[1]. Die Identifizierung von je zwei Elementen aus verschiedenen Untergruppen wird hierbei über die Isomorphie zur Gruppe U bewerkstellig (s. u. Ä3) und dementsprechend die Gruppenverknüpfung angepasst (s. u. Gruppen-Verknüpfung).

Das freie Produkt ist eine Anwendung bzw. ein Spezialfall des amalgamierten Produktes, da jedes freie Produkt vermöge der Amalgamierung nach der trivialen Untergruppe {1}^[2] einer seiner Faktoren als amalgamiertes Produkt aufgefasst werden kann.

Definition (konstruktiv)

Grundvoraussetzungen

Sei $I \stackrel{\mathrm{def}}= \{ 1, 2,\ldots n\}, n \in \N$ eine Indexmenge und $\{G_i\}_{i \in I}$ eine Familie von Gruppen. Weiter beinhalte jede dieser Gruppen eine Untergruppe U_i und alle diese U_i seien isomorph zu einer einzelnen weiteren Gruppe U. (Der zugehörige Gruppen-Isomorphismus, welcher diese Isomorphie vermittelt, sei mit $\varphi_i : U_i \xrightarrow{\cong} U$ für alle $i \in I$ bezeichnet.)

Sei weiter $t \in \N.$ Ein Wort über den G_i sei eine Hintereinanderschreibung (Aneinanderreihung, Verkettung, etc.)

$a_1 a_2\ldots a_t,$

wobei das Wort entweder (für t = 0) leer sei – dann geschrieben 1 oder ε – oder es gelte $a_i \in G_j$ für ein $j \in I$, für jedes $i = 1\ldots t.$ (D. h. zwei verschiedene a_i müssen nicht aus derselben Gruppe sein!)

(Im Folgenden schreiben wir sowohl für das leere Wort wie auch für die neutralen Elemente 1_j der Gruppen G_j ohne Unterschied 1.)

Äquivalenzrelation

Elementare Äquivalenzen

Analog zum Vorgehen bei der Bildung des freien Produktes der Gruppen G_i betrachten wir nun Wörter aus Elementen aus den G_i und definieren sogenannten elementare Äquivalenzen (Ä1–Ä3) zwischen denselben:

(Ä1)

– Neutrale Elemente können weggelassen werden. –

Falls a_i = 1, dann sei

$a_1 \ldots a_{i-1} a_i a_{i+1} \ldots a_t$

(elementar) äquivalent zu $a_1 \ldots a_{i-1} a_{i+1} \ldots a_t.$

(Ä2)

– Zwei Elemente können durch ihr Produkt ersetzt werden. –

Falls a_i und a_{i + 1} aus derselben Gruppe G_j sind und a_ia_{i + 1} = a ^* in G_j gilt, dann sei

$a_1 \ldots a_i a_{i+1} \ldots a_t$

(elementar) äquivalent zu $a_1 \ldots a^* \ldots a_t.$

(Ä3)

Zwischenbemerkung: Wir sagen, zwei Elemente $u_j \in U_j \subseteq G_j$ und $u_k \in U_k \subseteq G_k$ mit $j, k \in I$ seien einander zugehörig, falls sie, vermittels der Isomorphismen $\varphi_j,\ \varphi_k$ zwischen Uj, Uk und U, demselben $u \in U$ entsprechen; d. h. falls $\varphi_k(u_k) = u = \varphi_j(u_j)$ gilt.

– Elemente können durch zugehörige Elemente ersetzt werden. –

Falls $a_i = u_j \in U_j \subseteq G_j$ und $b_i = u_k \in U_k \subseteq G_k$ mit $j, k \in I$ und die Elemente u_j und u_k einander zugehörig sind, dann sei

$a_1 \ldots a_{i-1} a_i a_{i+1} \ldots a_t$

(elementar) äquivalent zu $a_1 \ldots a_{i-1} b_i a_{i+1} \ldots a_t.$

Wortweise Äquivalenz

Auf Grundlage der elementaren Äquivalenzen Ä1–Ä3 erklären wir nun die wortweise Äquivalenz: Zwei Wörter x und y sind (wortweise) äquivalent, falls es eine Folge

$x \stackrel{\mathrm{def}}= x_1, x_2, \ldots, x_m \stackrel{\mathrm{def}}= y$^[3]

mit $m \in \N$ gibt, in welcher x_i und x_{i + 1} für jedes $i = 1, \ldots, m-1$ elementar äquivalent sind. (Die wortweise Äquivalenz entspricht damit der transitiven Hülle bzw. der reflexiv-transitiven Hülle der elementaren Äquivalenz.)

Gruppen-Verknüpfung

Auf der Quotientenmenge nach der so definierten Äquivalenzrelation definieren wir endlich noch kanonisch die Gruppen-Verknüpfung:

$[x][y] \stackrel{\mathrm{def}}= [xy]$     (kanonisches Produkt).

Abschlussdefinition

Die Quotientenmenge bildet zusammen mit dem eben definierten Produkt eine Gruppe, nämlich das amalgamierte Produkt der Gruppen G_i oder das freie Produkt der Gruppen G_i mit der amalgamierten Untergruppe U.

Weblinks

Quellen

• Hall, Marshall: The theory of groups. Macmillan, New York, 1959.

Fußnoten / Einzelnachweise

1. ↑ Vgl. dazu den entsprechenden Wiktionary-Eintrag unter Weblinks.
2. ↑ Die Untergruppen ${}_{\{1\}\,\!}$ sind trivialerweise alle isomorph zur jeder beliebigen Gruppe der Gruppenordnung 1. Man wähle ${}_{U=\{1\}\,\!}$ als Amalgamierungsuntergruppe.
3. ↑ Die Folge ist ${}_{x_1, x_2, \ldots, x_m,\,\!}$ wobei ${}_{x_1 \stackrel{\mathrm{def}}= x\,\!}$ und ${}_{x_m \stackrel{\mathrm{def}}= y\,\!}$ gesetzt wird. – „Bei der Interpretation der Formel werden Gleichheitszeichen vor Kommata ausgewertet.“