Amalgamiertes Produkt

Das amalgamierte (freie) Produkt von Gruppen G_i nach der Gruppe U oder das freie Produkt der Gruppen G_i mit der amalgamierten Untergruppe U ist eine mit dem freien Produkt von Gruppen verwandte mathematische Konstruktion. Dabei wird zunächst das freie Produkt der Gruppen gebildet. Diese müssen hierbei jedoch alle eine zur (Unter-) Gruppe U isomorphe Untergruppe enthalten. Danach werden diese Untergruppen durch (a) geeignete Identifikation von Elementen und (b) Anpassung der Gruppenverknüpfung innerhalb des freien Produktes miteinander verschmolzen (bildlich gesprochen) und in diesem Sinne amalgamiert^[1]. Die Identifizierung von je zwei Elementen aus verschiedenen der vorgegebenen, zu U isomorphen Untergruppen wird hierbei über die Isomorphie zur Gruppe U bewerkstelligt (s. u. Ä3) und die Gruppenverknüpfung dementsprechend angepasst (s. u. Gruppen-Verknüpfung).

Das freie Produkt ist eine Anwendung bzw. ein Spezialfall des amalgamierten Produktes, da jedes freie Produkt vermöge der Amalgamierung nach der trivialen Untergruppe {1}^[2] seiner Faktoren als amalgamiertes Produkt aufgefasst werden kann.

Definition (konstruktiv)

Grundvoraussetzungen

Sei $I \stackrel{\mathrm{def}}= \{ 1, 2,\ldots n\}, n \in \N$ eine Indexmenge und $\{G_i\}_{i \in I}$ eine Familie von Gruppen. Weiter beinhalte jede dieser Gruppen eine Untergruppe U_i und alle diese U_i seien gleichsam isomorph zu ein und derselben Untergruppe / weiteren Gruppe U. (Die Gruppe U kann mit einer der Untergruppen U_i identisch, eine andere Untergruppe einer der G_i, oder eine x-beliebige andere Gruppe sein.) Der zugehörige Gruppen-Isomorphismus, welcher diese Isomorphie vermittelt, sei mit $\varphi_i : U_i \xrightarrow{\cong} U$ für alle $i \in I$ bezeichnet.

Sei weiter $t \in \N.$ – Ein Wort über den G_i sei eine Hintereinanderschreibung (Aneinanderreihung, Verkettung, etc.)

$a_1 a_2\ldots a_t$

von Elementen aus den G_i, wobei das Wort entweder (für t = 0) leer sei – dann geschrieben 1 oder ε – oder es gäbe für jedes $i = 1\ldots t$ ein $j_i \in I,$ so dass $a_i \in G_{j_i}$ gelte. (D. h. zwei verschiedene a_i müssen nicht aus derselben Gruppe sein!)

(Im Folgenden schreiben wir sowohl für das leere Wort wie auch für die neutralen Elemente 1_j der Gruppen G_j ohne Unterschied 1.)

Äquivalenzrelation

Elementare Äquivalenzen

Analog zum Vorgehen bei der Bildung des freien Produktes der Gruppen G_i betrachten wir nun Wörter aus Elementen aus den G_i und definieren sogenannte elementare Äquivalenzen (Ä1–Ä3) zwischen denselben:

(Ä1)

– Neutrale Elemente können weggelassen werden. –

Falls a_i = 1, dann sei

$a_1 \ldots a_{i-1} {\color{RawSienna}a_i} a_{i+1} \ldots a_t$

(elementar) äquivalent zu $a_1 \ldots \overset{{\color{RawSienna}a_i}\!\!\!\!\!\!\diagup}{\overset{\uparrow}{a_{i-1} a_{i+1}}} \ldots a_t.$

(Ä2)

– Zwei Elemente können durch ihr Produkt ersetzt werden. –

Falls a_i und a_{i + 1} aus derselben Gruppe G_j sind und a_ia_{i + 1} = a ^* in G_j gilt, dann sei

$a_1 \ldots {\color{RawSienna}a_i a_{i+1}} \ldots a_t$

(elementar) äquivalent zu $a_1 \ldots {\color{RawSienna}a^*} \ldots a_t.$

(Ä3)

Zwischenbemerkung: Wir sagen, zwei Elemente $u_j \in U_j \subseteq G_j$ und $u_k \in U_k \subseteq G_k$ mit $j, k \in I$ seien einander zugehörig, falls sie, vermittels der Isomorphismen $\varphi_j,\ \varphi_k$ zwischen Uj, Uk und U, demselben $u \in U$ entsprechen; d. h. falls φk(uk) = u = φj(uj) gilt.

– Elemente können durch zugehörige Elemente ersetzt werden. –

Falls $a_i = u_j \in U_j \subseteq G_j$ und $b_i = u_k \in U_k \subseteq G_k$ mit $j, k \in I$ und die Elemente u_j und u_k einander zugehörig sind, dann sei

$a_1 \ldots a_{i-1} {\color{RawSienna}a_i} a_{i+1} \ldots a_t$

(elementar) äquivalent zu $a_1 \ldots a_{i-1} {\color{RawSienna}b_i} a_{i+1} \ldots a_t.$

Wortweise Äquivalenz

Auf Grundlage der elementaren Äquivalenzen Ä1–Ä3 erklären wir nun die wortweise Äquivalenz: Zwei Wörter x und y seien (wortweise) äquivalent, falls es eine Folge

$x \stackrel{\mathrm{def}}= x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_m \stackrel{\mathrm{def}}= y$^[3]

mit $m \in \N$ gibt, in welcher x_i und x_{i + 1} für jedes $i = 1, \ldots, m-1$ elementar äquivalent sind. (Die wortweise Äquivalenz entspricht damit der transitiven Hülle bzw. der reflexiv-transitiven Hülle der elementaren Äquivalenz.) Für die so definierte Äquivalenzrelation benutzen wir im Folgenden das Symbol ∼. Für (wortweise oder elementar) äquivalente Wörter x und y gilt also x∼y.

Bezeichnen wir mit G die Menge aller Wörter über den G_i, so bedeutet

$[x] = \{y\in G| y\sim x\}$

die Menge aller zu x äquivalenten Wörter. Dies wird auch die Äquivalenzklasse von x genannt.

Gruppen-Verknüpfung

Auf der Menge G ist durch die Hintereinanderschreibung von Wörtern $x = a_1\ldots a_t$ und $y =b_1\ldots b_s$ eine Verknüpfung

$xy = a_1\ldots a_t b_1\ldots b_s$

erklärt. Wir übertragen schlussendlich diese Verknüpfung in natürlicher Weise auf die Quotientenmenge G / ∼ von G nach der Äquivalenzrelation ∼, indem wir definieren:

$[x]\ast[y] \stackrel{\mathrm{def}}= [xy].$
Das Produkt (in G/~) der Äquivalenzklassen von x und y ist gleich der Äquivalenzklasse des Produktes (in G) von x und y.

Dieses Produkt wird auch als das kanonische^[4] Produkt auf G / ∼ bezeichnet.

Abschlussdefinition

Die Quotientenmenge bildet zusammen mit dem eben definierten Produkt eine Gruppe $\left(G/{\sim},\ast\right),$ nämlich das amalgamierte Produkt der Gruppen G_i oder das freie Produkt der Gruppen G_i mit der amalgamierten Untergruppe U.

Weblinks

 Wiktionary: amalgamieren – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Quellen

• Hall, Marshall: The theory of groups. Macmillan, New York, 1959.

Fußnoten / Einzelnachweise

1. ↑ Vgl. dazu den entsprechenden Wiktionary-Eintrag unter Weblinks.
2. ↑ Die Untergruppen ${}_{\{1\}\,\!}$ sind trivialerweise alle isomorph zur jeder beliebigen Gruppe der Gruppenordnung 1. Man wähle ${}_{U=\{1\}\,\!}$ als Amalgamierungsuntergruppe.
3. ↑ Die Folge ist ${}_{x_1, x_2, \ldots, x_m,\,\!}$ wobei ${}_{x_1 \stackrel{\mathrm{def}}= x\,\!}$ und ${}_{x_m \stackrel{\mathrm{def}}= y\,\!}$ gesetzt wird. – „Bei der Interpretation der Formel werden Gleichheitszeichen vor Kommata ausgewertet.“
4. ↑ „kanonisch“ bedeutet soviel wie, dass das Produkt im Kanon der Mathematik, d. h. z. B. in der Leit-Literatur der Mathematik gewöhnlich so definiert wird und in diesem Sinne als musterhafte, verbindliche und / oder verlässliche Konvention gelten kann. Der Begriff entstammt dem Kirchenrecht und seiner Bezeichnung als kanonisches Recht.