Kepler-Konstante

Die Kepler-Konstante C ist eine aus dem 3. Keplerschen Gesetz resultierende Konstante. Sie besteht aus dem Quotienten des Quadrates der Umlaufzeit eines Himmelskörpers und der dritten Potenz der großen Halbachse seiner Umlaufbahn.^[1]

$C = \frac{T^2}{a^3}$

Dieser Quotient ist für ein Zentralobjekt konstant.

Für die Sonne als Zentralgestirn gilt: $C_\mathrm{s} = 2{,}97 \cdot 10^{-19} \,\frac{\mathrm{s}^2}{\mathrm{m}^3}$

Die Kepler-Konstante kann auch ohne Kenntnis der Halbachse und Umlaufdauer eines Planeten bestimmt werden. Aus dem dritten Keplerschen Gesetz ergibt sich unter Zuhilfenahme des Gravitationsgesetzes:

$C=\frac{4 \pi^2}{G(M+m)}$

wobei G die Gravitationskonstante, M die Masse des Zentralkörpers und m die Masse des umlaufenden Körpers ist. Hieran erkennt man auch, dass diese „Konstante“ prinzipiell vom betrachteten Planeten abhängt. Da aber in der Regel $M \gg m$ ist, kann man die Planetenmasse in der Regel vernachlässigen.

Kennt man die Kepler-Konstante, kann man einfach die Umlaufzeit oder die große Halbachse eines Planeten berechnen, wenn man das jeweils andere kennt. Oft werden Planetenbahnen vereinfacht als Kreisbahnen betrachtet und die große Halbachse mit dem Radius gleichgesetzt.

In Formelsammlungen ist die Konstante für die Sonne als Zentralgestirn gegeben, die nur dann angewendet werden darf, wenn die Sonne auch das Zentralgestirn ist. Geht es hingegen zum Beispiel um künstliche Satelliten, die die Erde umkreisen, müsste man große Halbachse und Umlaufzeit des Mondes für die Berechnung verwenden. Dieser Wert würde dann auch für den Satellit gelten. Die Keplersche Formel geht aber von der idealisierten Annahme aus, die Masse des Himmelskörpers sei gegenüber der des Zentralkörpers vernachlässigbar gering. Tatsächlich aber kreist der Mond – und die Erde – um den gemeinsamen Schwerpunkt, der sich aus dem relevanten Massenverhältnis ergibt. Die Situation Erde–Satellit aber entspricht der Modellannahme, daher führt in diesem Fall die Berechnung über den Erdmond nicht zum Ziel. Näheres Hierzu siehe im Artikel Satellitenbahnelement.

Einzelnachweise

1. ↑ Rudolf Pitka: Physik- der Grundkurs. Harri Deutsch Verlag, 2009, ISBN 978-3817118526, S. 127 (online).