Gravitationskonstante

Die Gravitationskonstante ist jene Naturkonstante, die die Masse mit der Gravitation verknüpft. Sie wurde von Isaac Newton im Rahmen seiner Gravitationstheorie eingeführt und findet heute auch in der allgemeinen Relativitätstheorie uneingeschränkt Anwendung. Für die Beschreibung astronomischer Größen und Vorgänge besitzt sie ebenso fundamentale Bedeutung wie für die Geowissenschaften. Als Formelzeichen sind G oder γ üblich. Der Wert der Gravitationskonstante beträgt:^[1]

$G = 6{,}673\;84\;(80) \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}$

Definition

Die Definition der Gravitationskonstanten ergibt sich in der klassisch-mechanischen Gravitationstheorie aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz. Zwei kugelsymmetrische Körper mit den Massen m₁ und m₂, deren Mittelpunkte einen Abstand r haben, ziehen sich gegenseitig mit der Kraft

$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \ .$

an. Die in der Gleichung auftretende Proportionalitätskonstante G ist die Gravitationskonstante.

Obiger Zusammenhang gilt genau genommen nur für theoretische punktförmige Massen, bei denen die gesamte Masse im Mittelpunkt konzentriert ist. Das äußere Gravitationsfeld von Körpern mit einer kugelsymmetrischen Massenverteilung ist jedoch identisch mit dem einer Punktmasse.

Messung

Der Wert der Gravitationskonstanten G wird durch Messung der Kraft zwischen zwei kugelsymmetrischen Testmassen im Labor bestimmt. Es wurden international verschiedene Präzisionsmessungen mit unterschiedlichen Versuchsaufbauten durchgeführt.

Wert und Einheiten

Im Internationalen Einheitensystem (SI) beträgt der Wert nach der aktuellen Empfehlung CODATA 2010:^[1]

$G = 6{,}673\;84\;(80) \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}} = 6{,}673\;84\;(80) \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{N \cdot m^2}{kg^2}}$

(also mit einer geschätzten Standardabweichung von 0,000 80 · 10⁻¹¹)

Im CGS-Einheitensystem hat G den Wert:

$G = 6{,}673\;84\;(80) \cdot 10^{-8}\,\mathrm{\frac{cm^3}{g \cdot s^2}}$

Die Gravitationskonstante kann auch mit anderen Naturkonstanten ausgedrückt werden, zum Beispiel mit Hilfe des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums $\hbar$ und der Lichtgeschwindigkeit c („natürliche Einheiten“). Nach CODATA 2010 ergibt sich als Wert:^[2]

$G = 6{,}708\;37\;(80) \cdot 10^{-39}\,\frac{\hbar c}{(\mathrm{GeV}/c^2)^2}$

Verglichen mit anderen Grundkräften der Physik ist die Gravitation eine sehr schwache Wechselwirkung, was sich in dem kleinen Wert der Gravitationskonstanten ausdrückt. Berechnet man beispielsweise das Verhältnis zwischen der Gravitationskraft und der elektrostatischen Kraft zwischen zwei Protonen, so erhält man:

$\frac{F_\mathrm{Gravitation}}{F_\mathrm{elektrisch}} = \frac{G m_\mathrm{Proton}^2}{e^2 / (4 \pi \epsilon_0)} \approx 10^{-36}$

Genauigkeit

Unter allen Naturkonstanten ist G zur Zeit diejenige mit der größten relativen Ungenauigkeit. Der Grund dafür liegt in der Schwierigkeit, die sehr geringe Gravitationskraft zwischen zwei Massen im Laborversuch mit hoher Genauigkeit zu messen. Auch mit aufwändig konstruierten und gegen Störeinflüsse abgeschirmten Messgeräten konnte bisher nur eine verhältnismäßig geringe Messgenauigkeit von 1,0 · 10 ⁻⁴ erreicht werden. Zum Vergleich: Das plancksche Wirkungsquantum ist mit einer relativen Ungenauigkeit von nur 1,7 · 10 ⁻⁷ bekannt. Wesentlich genauer (bis zu 10-stellig) als die Gravitationskonstante selbst ist das Produkt der Gravitationskonstanten mit der jeweiligen Masse M eines Himmelskörpers wie Erde oder Sonne aus der Vermessung von Umlaufbahnen bekannt. Es gilt die Gleichung MG = r³ω², so dass für diese Größe letztlich nur der Radius r und die Umlauffrequenz ω eine Rolle spielen, siehe WGS 84.

Das Cavendish-Experiment

Im Jahr 1798 hat Henry Cavendish in einem Laborexperiment mit einer Gravitationswaage (Drehwaage) die Gravitationskraft zwischen bekannten Massen gemessen.^[3] Die Messanordnung bestand aus zwei großen Kugeln mit zusammen M_c = 316 kg und zwei an einem Torsionsdraht drehbar aufgehängten Kugeln mit zusammen m = 1,46 kg. Es wurde die Kraft F_c ermittelt, die bei einem Abstand r_m erforderlich ist, damit die Gravitationskraft der Kugeln sie nicht weiter aufeinander zubewegen konnte. Die dazu nötige Torsionssteifigkeit des Drahtes bestimmte er aus der Periodendauer der Torsionsschwingung. Zusätzlich bestimmte er das Gewicht seiner Testmasse m, also die Gravitationskraft F_E, mit der die Testmasse m von der Erdmasse M_E angezogen wird.

Anschließend setzte er entsprechend dem Newtonschen Gravitationsgesetz die Werte seiner Messung ins Verhältnis zu den entsprechenden Werten M_E und r_E der Erde:

$\frac {F_c \cdot r_m^2} {m \cdot M_c} = \frac {F_E \cdot r_E^2} {m \cdot M_E} = \mathrm{const.} = G$

Cavendish vermied es, mit den großen Zahlenwerten für Masse und Radius² der Erde zu rechnen, indem er sowohl die Masse der Erde als auch die seiner Feldkugeln durch ihre Dichte (ρ_E bzw. ρ_c) und ihr Volumen (proportional zu r³) ausdrückte. Er gab auch nicht die zahlenmäßig sehr kleine Gravitationskonstante selbst an, sondern löste die Formel nach der (mittleren) Dichte der Erde auf:

$\rho_E = \rho_c \, \frac {F_E}{F_c} \, \frac{r_c^3}{r_E \, r_m^2} \approx 5\,480\, \mathrm{kg/m^3}$

Die maximale Abweichung der einzelnen Messwerte Cavendishs von diesem Mittelwert betrug etwa sieben Prozent. Cavendish hielt es für sehr unwahrscheinlich, dass die Abweichung seines Ergebnisses von dem wahren Wert der Erddichte aufgrund systematischer Messfehler diesen Wert von sieben Prozent erreicht. Tatsächlich unterscheidet sich sein Ergebnis um weniger als ein Prozent von dem heute angenommenen Wert der mittleren Erddichte von 5515 kg / m³.

Aus Cavendishs Versuchsbeschreibung ist nicht ersichtlich, ob er auch die Masse der Erde M_E oder den Wert der Newtonschen Gravitationskonstanten G berechnet hat. Beide Werte können aber aus seinen Messergebnissen berechnet werden. Für die Gravitationskonstante ergibt sich demnach ein Wert von ^[4]

$G_\mathrm{Cavendish} = 6{,}754 \cdot 10^{-11}~\mathrm{{m^3}{kg^{-1}\,s^{-2}}}$.

Erst nachdem der Wert der Gravitationskonstanten bekannt war, konnten auch die Massen weiterer Himmelskörper bestimmt werden.

Siehe auch

• Gaußsche Gravitationskonstante
• Erdschwerebeschleunigung

Literatur

• Venzo de Sabbata: The gravitational constant - generalized gravitational theories and experiments. Kluwer Academic, Dordrecht 2004, ISBN 1-4020-1955-6
• Achim Schumacher: Systematische Untersuchungen zur Messung der Newtonschen Gravitationskonstanten mit einem Pendelresonator. August 1999, abgerufen am 18. November 2009 (pdf, Dissertation (Universität Wuppertal), 3,89MB). 

Weblinks

 Wiktionary: Gravitationskonstante – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants beim NIST
• Seminararbeit über die Bestimmung der Gravitationskonstanten G (PDF-Datei; 481 kB)

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 17. Juni 2011.  Wert für die Gravitationskonstante in Basiseinheiten
2. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 17. Juni 2011.  Wert für die Gravitationskonstante in natürlichen Einheiten
3. ↑ Henry Cavendish: Experiments to determine the Density of the Earth, 1798 (englisch PDF)
4. ↑ Michael Engel: Die Gravitation im Test – Gravitationskonstante und Äquivalenzprinzip