Keplers Theoreme

Die drei keplerschen Gesetze (auch Kepler-Gesetze) sind nach dem Astronomen und Naturphilosophen Johannes Kepler benannt. Er war diesen fundamentalen Gesetzmäßigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne auf die Spur gekommen, als er sie in Bezug zu einer gesuchten Harmonik brachte und die Abweichungen des Mars von einer Kreisbahn mathematisch analysierte. Die Gesetze beschreiben die Bewegung idealer Himmelskörper.

1. Keplergesetz

Die Umlaufbahn eines Objekts ist eine Ellipse. Das Schwerezentrum liegt in einem Brennpunkt.

2. Keplergesetz

In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl gleiche Flächen.

3. Keplergesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Objekte verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen.

Grundlegende Bedeutung in der Astronomie

Die Kepler-Gesetze stellen die exakte Lösung des Zweikörperproblems dar. Sie gelten exakt für Massenpunkte und für alle Zweiersysteme kugelsymmetrischer Himmelskörper, wenn

• nichtgravitative Kräfte zu vernachlässigen sind und
• angenommen wird, dass sich die Gravitationswirkung unendlich schnell ausbreitet. Letzteres steht in Widerspruch zur Relativitätstheorie, der zufolge sich Gravitationskräfte nur mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können. Bisher gibt es dafür keine experimentelle Bestätigung.

Obwohl die drei Gesetze die Bewegung nur in einem System zweier Körper exakt beschreiben, sind sie generell eine gute Näherung für die Wirklichkeit, und die auf ihnen beruhenden jeweils sechs Bahnelemente die Grundlage jeder Bahnbestimmung. Die geringen Abweichungen von den Keplerbahnen werden Bahnstörungen genannt.

Geschichte

Kepler formulierte die Geometrie und Kinematik der Planetenbahnen in drei Gesetzen, von denen er die beiden ersten relativ rasch fand (Astronomia Nova, „Neue Astronomie“, 1609). Die Suche nach dem dritten dauerte hingegen – einschließlich mehrerer Irrwege über Korbbögen – ein Jahrzehnt, er fand es Mitte 1618 (Harmonices Mundi, „Weltharmonik“, publiziert 1619). Dabei kamen ihm Überlegungen zu Hilfe, die heute als anthropisches Prinzip bezeichnet werden, und vermutlich auch die in der Musik zu findende Harmonik. Eine wichtige Grundlage für Kepler waren die Beobachtungen von Tycho Brahe und seine eigenen als Tychos Assistent. Das vorzügliche Beobachtungsmaterial vom Planeten Mars war insbesondere für die beiden ersten Gesetze (Ellipsen- und Flächensatz) bedeutsam.

Ein anderes in diesem Kontext von Kepler aufgestelltes Gesetz über die wirkende Kraft, die Anima motrix, hat sich als nicht zutreffend erwiesen. Die keplerschen Planetengesetze wurden später von Newton in den allgemeineren Zusammenhang seines Gravitationsgesetzes gestellt.

Die Keplergesetze können elegant direkt aus der newtonschen Theorie abgeleitet werden. Der 2. Satz ist eine geometrische Deutung des Drehimpulssatzes ^[1], der 1. Satz folgt aus der clairautschen Gleichung ^[2], mittels Integration, der Keplergleichung und der gaußschen Konstante folgt der 3. Satz aus dem zweiten^[3] oder mittels des Hodographen direkt aus Newtons Gesetzen^[4]. In diesem Sinne sind sie keine physikalischen Gesetze, sondern Sätze über die Bewegung im Gravitationsfeld.

Problematik der Mehrkörpersysteme

Wenn drei oder mehr Körper sich gegenseitig umkreisen, kommt es hingegen zu Bahnstörungen, für die jedoch Keplers Gesetze und Bahnelemente ein bis heute verwendetes Bezugsystem darstellen (siehe auch oskulierende Ellipse). Sind zahlreiche Körper gravitativ aneinander gebunden, gelten die Gesetze nur im Außenraum, weil jede umhüllende, mit Masse erfüllte Schale auf den Innenraum schwerelos bleibt. Daher weicht z. B. die Bewegung der Fixsterne um das galaktische Zentrum merklich vom zweiten und dritten Keplergesetz ab.

Heliozentrische und fundamentale Formulierung der Gesetze

Kepler formulierte das Gesetz für die Planeten, die ihm bekannt waren. Für die Gesetze gilt aber das kosmologische Prinzip, nachdem sie überall im Universum gültig seien. Der heliozentrische Fall unseres Sonnensystems ist aber der – für uns – weitaus bedeutendste, daher sind sie in der Literatur häufig einschränkend nur für Planeten formuliert. Sie gelten natürlich auch für Monde und Satelliten, den Asteroidengürtel und die Oortsche Wolke, oder die Ringe des Jupiter und Saturn, Sternhaufen wie auch für Objekte auf der Umlaufbahn um das Zentrum einer Galaxie, und alle anderen Objekte im Weltall.

In kosmischem Maßstab beginnen sich aber die relativistischen Effekte zunehmend auszuwirken, und die Differenzen zum keplerschen Modell dienen primär als Prüfkriterium an modernere Konzepte. Die Formungsmechanismen in Spiralgalaxien etwa lassen sich mit einem rein auf den Keplergesetzen beruhenden Modell nicht mehr stimmig nachvollziehen.

Erstes keplersches Gesetz (Ellipsensatz)

Erstes keplersches Gesetz

Die Umlaufbahn eines Trabanten ist eine Ellipse. Einer ihrer Brennpunkte liegt im Schwerezentrum des Systems.

Dieses Gesetz ergibt sich aus Newtons Gravitationsgesetz, sofern die Masse des Zentralkörpers wesentlich größer als die der Trabanten ist und die Wechselwirkung des Trabanten auf den Zentralkörper vernachlässigt werden kann.

Modern formuliert lautet der Satz:^[2]

• Einen Massenpunkt M der Masse M im Ursprung (0,0) umgibt ein rotationssymetrisches Zentralkraftfeld, das Potential im Abstand r ist $\Phi (r) = - \frac{A}{r}$
• Ein zweiter Massenpunkt m der Masse m ist im Ort $\mathbf r = ( r, \varphi)$ (in Polarkoordinaten), $\mathbf r$ ist sein Radiusvektor von M aus, $\mathbf {\dot r}$ seine Geschwindigkeit (Ableitung nach der Zeit in physikalischer Schreibweise)
• Die Anziehungskraft, die durch M auf m wirkt, ist $\mathbf F = - A m r^{-2}{\mathbf r}/r$. Dabei gilt A = GM. G ist die Gravitationskonstante.
• Die Energie pro Masseneinheit (spezifische Energie) des Massenpunktes $E_\text{m} = \frac{1}{2} \mathbf {\dot r}^2 + \Phi (r)$ ergibt sich aus $E_\text{m} \cdot m = \left( E_\text{kin} + E_\text{pot} \right)$ mit der kinetischen und potentiellen Energie
• Der Bahnnormalenvektor $\mathbf C = \mathbf r \times \mathbf{\dot r}$ (die Bahn ist die Trajektorie des Massenpunkts m im Kraftfeld) steht normal auf dem Hodographen (also Orts- und Geschwindigkeitsvektor). Der Bahndrehimpuls ist $C = \left| \mathbf C \right|$; außerdem gilt $\mathbf C \neq 0$

Es gilt (als Lösung der Clairautschen Gleichung):

$r (\varphi) = \frac{p}{1 + e \cdot \cos \varphi}$ mit $p = \frac{C^2}{A}$ und $e = \sqrt{ 1 + \frac{2 E_\text{m} C^2}{A^2}}$ ist die Bewegungsgleichung von m

Diese Lösung ist allein von spezifischer Energie und Bahndrehimpuls abhängig, und p, der Parameter, und e, die (numerische) Exzentrizität, sind die grundlegenden Gestaltelemente der Bahn.

Für den Fall $0 \leq e \leq 1$ gilt:

$r (\varphi)$ beschreibt eine Ellipse mit den Brennpunkten (0,0) und $( - \frac{2ep}{1- e^2}, 0)$, der numerischen Exzentrizität e und einer großen Halbachse $a = - \frac {A}{2 E_\text{m}}$

Das ist die Lösung, die der erste keplersche Satz anbietet.
Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung sind Kegelschnitte, die Keplerbahnen. Dies sind im Falle geschlossener Bahnen Ellipsen. Ein Körper, der nicht gravitativ an das Schwerezentrum gebunden ist, also eine zu hohe Geschwindigkeit besitzt, um eine geschlossene Bahn zu bilden, durchläuft das Feld auf einer parabolischen oder hyperbolischen Bahn und verlässt es anschließend wieder. Als Sonderfall existiert noch eine Lösung für $\mathbf C = 0$, in der die Masse auf einer Geraden auf das Zentrum zustürzt (Freier Fall).

Zweites keplersches Gesetz (Flächensatz)

Zweites keplersches Gesetz

In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl Objekt – Schwerezentrum gleiche Flächen.

Unter dem Fahrstrahl versteht man die Verbindungslinie zwischen dem Schwerpunkt eines Himmelskörpers, z. B. eines Planeten oder Mondes, und dem Gravizentrum, z. B. der Sonne respektive des Planeten, um welches er sich bewegt.

Kepler formulierte das Gesetz nur für Planeten und die Sonne, es gilt aber für alle Himmelskörper, auch auf nicht geschlossenen Bahnen. Physikalisch gesehen ist das zweite Keplergesetz ein Beispiel für den Drehimpulserhaltungssatz.

Die Konstanz der Flächengeschwindigkeit besagt, dass von einer gedachten Verbindungslinie zwischen Zentralkörper, genauer dem Schwerpunkt der beiden Himmelskörper, und einem Trabanten in gleichen Zeiten stets die gleiche Fläche überstrichen wird. Ein Planet bewegt sich also schneller, wenn er sich nahe an der Sonne befindet, und umso langsamer, je weiter er von der Sonne entfernt ist.

Das Zentrum der Umlaufbahn ist hierbei der gemeinsame Schwerpunkt von Zentralstern und den Trabanten. Der Schwerpunkt der Planeten und der Sonne liegt jedoch noch innerhalb der Sonne: Die Sonne steht nicht fest in Bezug auf das Sonnensystem, sondern schwingt ein klein wenig unter dem Einfluss der umlaufenden Planeten (Länge und Breite der Sonne). Andere Einflüsse, wie etwa die gegenseitige Anziehung (Schwerkraft) der einzelnen Planeten untereinander sind weitgehend vernachlässigbar und ergeben erst über Jahre merkliche Abweichungen.

Drittes keplersches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten T₁ und T₂ je zweier Trabanten um ein gemeinsames Zentrum sind proportional zu den dritten Potenzen der großen Halbachsen a₁ und a₂ ihrer Ellipsenbahnen. oder: Die Quadrate der Umlaufzeiten stehen im gleichen Verhältnis wie die Kuben der großen Halbachsen:

$\left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2 = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^3$

In Kombination mit dem Gravitationsgesetz erhält das dritte keplersche Gesetz für die Bewegung zweier Massen M und m die Form:

$T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)} \cdot a^3 \approx \frac{4\pi^2}{GM} \cdot a^3$

wobei die Näherung gilt, wenn Masse m vernachlässigbar klein im Vergleich zu M ist (etwa im Sonnensystem). Durch diese Form kann man etwa die Gesamtmasse von Doppelsternsystemen aus der Messung der Umlaufdauer und des Abstandes bestimmen.

Kepler verwendete für die Bahnachsen a noch die mittlere Entfernung von der Sonne (im Sinne des Mittels von Periheldistanz und Apheldistanz). Heute benutzt man geeignete Definitionen eines mittleren Objekts.

Berücksichtigt man die unterschiedlichen Massen zweier Himmelskörper im Rahmen des Dreikörperproblems, so lautet die exakte Formulierung des dritten keplerschen Gesetzes:

$\left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2 = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^3 \frac{M+m_2}{M+m_1}$

Offensichtlich gewinnt die Abweichung nur dann an Bedeutung, wenn beide Trabanten sich stark in ihren Massen unterscheiden und das Zentralobjekt eine Masse M hat, die von der eines der beiden Trabanten nicht stark abweicht.

Siehe auch

• Ekliptik, Erdbahn
• Mondbahn
• Isaac Newton
• Rudolfinische Tafeln
• Kepler-Konstante
• Hohmannbahn

Literatur

• Johannes Kepler: Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis. In: Max Caspar (Hrsg.): Gesammelte Werke. Band 3, C. H. Beck, München 1938. 
• Johannes Kepler: Harmonices Mundi libri V. In: Max Caspar (Hrsg.): Gesammelte Werke. Band 6, C. H. Beck, München 1940/1990, ISBN 3-406-01648-0. 
• Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. BI-Wiss.-Verlag, Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4. 

Weblinks

• Walter Fendt: Erstes Keplersches Gesetz, Zweites Keplersches Gesetz (Java-Applets)
• Weltbilder – Kepler Gesetze. In: LEIFI. Didaktik der Physik. Uni München − Informationen, Animationen, Versuche und Aufgaben (Java-Applets)

Einzelnachweise

1. ↑ Guthmann, §II.1.26, S. 66f
2. ↑ ^{a b} Guthmann, §II.2.37, S. 81f
3. ↑ Guthmann, §II.5, S. 108ff
4. ↑ David L. Goodstein, Judith R. Goodstein: Feynman's verschollene Vorlesung. Die Bewegung der Planeten um die Sonne. Piper Verlag GmbH, München 1996