Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt

Klein–Nishina-Wirkungsquerschnitt für den Streuwinkel bei verschiedenen Energien.

Der Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt gibt die Winkelverteilung von Photonen an, die an ruhenden Elektronen gestreut werden. Er wurde 1929 von Oskar Klein und Yoshio Nishina berechnet und war eines der ersten Ergebnisse der Quantenelektrodynamik. Er stimmt mit den experimentellen Ergebnissen überein.

Bei der Photon-Elektron-Streuung, der Compton-Streuung, legen die Energie- und Impulserhaltung fest, wie die Energie E' des gestreuten Photons vom Streuwinkel θ und der ursprünglichen Photonenenergie E abhängt,

$E' = E \, P(E, \theta)\,,\ P(E,\theta) = \frac{1}{1 + \frac{E}{m \,c^2}(1-\cos\theta)}\,.$

Hierbei ist m die Masse des Elektrons.

Aus den Erhaltungssätzen folgt aber nicht, wie häufig dieser oder jener Streuwinkel auftritt. Diese Häufigkeit wird durch den Wirkungsquerschnitt dσ / dΩ angegeben. Mit der Größe des Raumwinkelbereichs $\mathrm d\Omega = \sin \theta \,\mathrm d\theta\,\mathrm d \varphi$ multipliziert ergibt er die Wahrscheinlichkeit, dass das Photon in diesen Raumwinkelbereich gestreut wird, mal dem Gesamtwirkungsquerschnitt σ.

Für einfallende Photonen der Energie E ist der Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt

$\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}{}_{\text{ Klein-Nishina}} = \frac{1}{2}\, r_{\text{e}}{}^2 \,\Bigl(P(E,\theta) - P(E,\theta)^2 \sin^2\theta + P(E,\theta)^3\Bigr)\,.$

Hierbei ist

$r_\mathrm{e}=\frac{e^2}{4\pi\, \varepsilon_0\, m\, c^2}=2,817\,940\,289\,4\,(5\,8)\cdot 10^{-15}~\mathrm{m} \ .$

der klassische Elektronenradius.

Für Photonenergien, die klein gegen die Ruhenergie des Elektrons sind, geht das Verhältnis der Energie des gestreuten Photons zur Energie des einfallenden Photons gegen $P(E,\theta)=1\,.$ Dann geht der Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt gegen den Wirkungsquerschnitt

$\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}{}_{\text{ Thomson}} = \frac{1}{2}\, r_{\text{e}}{}^2 \,\bigl(1 + \cos^2\theta\bigr)\,,$

den Joseph Thomson für die Streuung einer elektromagnetischen Welle an einer Punktladung berechnet hatte. Für kleine Energien ist Vorwärtstreuung des Photons genauso wahrscheinlich wie Rückwärtsstreuung, erst bei höheren Energien wird Vorwärtsstreuung wahrscheinlicher.

Den Gesamtwirkungsquerschnitt erhält man durch Integration über die Winkel. Für niederenergetische Photonen ist er bis auf einen Faktor 8/3 die Fläche einer Kreisscheibe, deren Radius der klassische Elektronenradius ist,

$\sigma{}_{\text{ Thomson}} = \frac{8}{3}\,\pi\, r_{\text{e}}{}^2 \,.$

Ist die Photonenergie E groß gegen die Ruhenergie des Elektrons, so fällt der Gesamtwirkungsquerschnitt mit der Energie ab,

$\sigma{}_{\text{ Klein-Nishina}} = \frac{m\,c^ 2}{E}\,\pi\, r_{\text{e}}{}^2\left(\frac 1 2 + \ln\left( \frac{2\,E}{m\,c^ 2}\right) + \operatorname{O}\left(\frac{m\,c^ 2}{E}\right)\right) \,.$

Literatur

• Otto Nachtmann: Phänomene und Konzepte der Elementarteilchenphysik. Vieweg Braunschweig, 1986, ISBN 3-528-08926-1.
• O. Klein und Y. Nishina: Über die Streuung von Strahlung durch freie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantenmechanik nach Dirac. In: Zeitschrift für Physik. 52, 1929, S. 853–868, doi:10.1007/BF01366453.