Kleinwinkelnäherung

Unter der Kleinwinkelnäherung wird die mathematische Näherung verstanden, die unterstellt, der Winkel sei hinreichend klein, um den Sinus des Winkels durch den Winkel (im Bogenmaß) und den Kosinus durch 1 zu ersetzen. In Konsequenz ist der Tangens

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

dann ebenfalls nahezu gleich mit dem Winkel α (im Bogenmaß).

Der Ansatz beruht auf der Taylor-Entwicklung des Sinus und des Kosinus um den Entwicklungspunkt 0 in erster bzw. nullter Ordnung:

$\sin\alpha = \sum\limits_{j=0}^{\infty} (-1)^j \frac{{\alpha}^{2j+1}}{(2j+1)!} = \alpha - \frac{\alpha^3}{6} \pm \cdots \approx \alpha$

$\cos\alpha = \sum\limits_{j=0}^{\infty} (-1)^j \frac{\alpha^{2j}}{(2j)!} = 1 - \frac{\alpha^2}{2} \pm \cdots \approx 1$

wobei ! die Fakultät bezeichnet. Durch diese Näherung entsteht bei einem Winkel von 5° beim Sinus ein Fehler von lediglich 1,3 ‰, beim Cosinus von 3,8 ‰. Für kleinere Winkel ist der Fehler noch geringer.

Wichtig ist die Kleinwinkelnäherung für zahlreiche Anwendungen in der Physik, da sich viele Probleme in der Kleinwinkelnäherung analytisch exakt lösen lassen, die unter Einbeziehung der Winkelfunktion zu elliptischen Integralen führen. Eines der bekanntesten Beispiele ist das mathematische Pendel.