Triplependel

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Bei einem Multipendel handelt es sich um ein Fadenpendel, an dessen Arm beliebig viele weitere Pendel gehängt werden.

Es entsteht ein unvorhersehbares Bewegungsmuster, welches bereits bei geringfügigen Störungen stark variiert. Es lassen sich chaotische Prozesse leicht simulieren, weshalb es sich zu einem beliebten Modell in der Chaostheorie entwickelt hat.

Modellvorstellung

Das Modell des Multipendels n-ter Stufe ist ein idealisiertes System eines Fadenpendels, an dessen schwingendem Massenpunkt n − 1 weitere baugleiche Fadenpendel gekoppelt sind. Die verbindenden Fäden zwischen Aufhängepunkt und den Massenpunkten werden als vollkommen unelastische, massenlose Stäbe betrachtet. Das gesamte System wird als reibungsfrei aufgefasst.

Bewegungsgleichungen des Multipendels n-ter Stufe

Aufbau: Multipendel

Die Bewegungsgleichungen für ein Multipendel n-ter Stufe lassen sich mit dem Lagrange-Formalismus zweiter Art herleiten.

Generalisierte Koordinaten $(\varphi_1,...,\varphi_n)$

Mittels Trigonometrie erhält man:

$x_1=l_1 \sin\varphi_1$

$y_1=-l_1 \cos\varphi_1$

$x_2=l_1 \sin\varphi_1 + l_2 \sin\varphi_2$

$y_2=-l_1 \cos\varphi_1 - l_2 \cos\varphi_2$

...

$x_n=l_1 \sin\varphi_1 + ... + l_n \sin\varphi_n$

$y_n=-l_1 \cos\varphi_1 - ... - l_n \cos\varphi_n$

Folglich können die kartesischen Koordinaten (x_k | y_k) der Massenpunkte m_k für k ∈ {1,...,n} und ihre zeitlichen Ableitungen in folgender Form geschrieben werden:

$x_k = \sum_{i=1}^{k} l_i \sin\varphi_i$

$\dot{x}_k = \sum_{i=1}^{k} l_i \dot{\varphi}_i \cos\varphi_i$

$y_k = -\sum_{i=1}^{k} l_i \cos\varphi_i$

$\dot{y}_k = \sum_{i=1}^{k} l_i \dot{\varphi}_i \sin\varphi_i$

Lagrange-Funktion $L(\varphi_1,...,\varphi_n,\dot{\varphi}_1,...,\dot{\varphi}_n)$

Kinetische Energie T und Potential V ergeben:

$T(\varphi_1,...,\varphi_n,\dot{\varphi}_1,...,\dot{\varphi}_n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{m_k}{2} (\dot{x}_k^2+\dot{y}_k^2)$

$V(\varphi_1,...,\varphi_n) = g \sum_{k=1}^{n} m_k y_k$

Somit ist die Lagrange Funktion L = T − V:

$L(\varphi_1,...,\varphi_n,\dot{\varphi}_1,...,\dot{\varphi}_n) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} m_k \left[\left(\sum_{i=1}^{k} l_i \dot{\varphi}_i \cos\varphi_i\right)^2+\left(\sum_{i=1}^{k} l_i \dot{\varphi}_i \sin\varphi_i\right)^2\right] + g \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k} m_k l_i \cos\varphi_i$

Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichungen des Multipendels n-ter Stufe ergeben sich aus

${d\over dt}{\partial{L}\over \partial{\dot{\varphi}_j}} - {\partial{L}\over \partial{\varphi_j}} = 0$

bzw.

${d\over dt}{\partial{T}\over \partial{\dot{\varphi}_j}} - {\partial{}\over \partial{\varphi_j}} (T-V) = 0$

für j ∈ {1,...,n}.

Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten (${\varphi_{1}},...,{\varphi_{n}}$) stellen ein nichtlineares System von n Differentialgleichungen zweiter Ordnung dar, welches für n > 1 analytisch nicht lösbar ist.

Es kann bei 2n bekannten Nebenbedingungen, beispielsweise der Startwerte

$\left( \varphi_1(t=0),...,\varphi_n(t=0),\dot{\varphi}_1(t=0),...,\dot{\varphi}_n(t=0) \right)$

mittels numerischer Verfahren gelöst werden. Zwecks Vereinfachung der Bewegungsgleichungen können Kleinwinkelnäherungen vorgenommen werden.

Für Stufen n > 1 entstehen chaotische Bewegungsmuster. Hier führen bereits geringfügige Änderungen der lokalen Koordinaten und/oder ihrer zeitlichen Ableitungen zu deutlichen Änderungen im weiteren Bewegungsablauf.

Bewegungsgleichungen für j ∈ {1,2,3}

Mathematisches Pendel

Für n = 1 ergibt sich der einfache Fall des mathematischen Pendels.

Hier ergeben sich kinetische Energie T und Potential V zu

$T(\varphi,\dot{\varphi}) = \frac{m}{2} l^2 \dot{\varphi}^2$

$V(\varphi) = -m g l \cos\varphi$

mit $m:=m_1, l:=l_1, \varphi:=\varphi_1$.

Entsprechend ist die Bewegungsgleichung:

$\ddot{\varphi} + \frac{g}{l} \sin\varphi=0$

Mit der Kleinwinkelnäherung $\sin\varphi\approx\varphi$ lässt sich die Gleichung vereinfachen:

$\ddot{\varphi} + \frac{g}{l} \varphi=0$

Eine zweckmäßige Lösung der Bewegungsgleichung ist

$\varphi(t)=\varphi(0) \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}} t + \alpha\right)$,

sodass bei bekannten Startbedingungen für den Parameter α gilt:

$\alpha=\arcsin\left(-\frac{\dot{\varphi}(0)}{\varphi(0)} \sqrt{\frac{l}{g}} \right)$

Das Pendel schwingt entsprechend harmonisch mit der Periode:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Doppelpendel

Der Fall n = 2 stellt das Doppelpendel dar.

Hier ergeben sich kinetische Energie T und Potential V zu:

$T(\varphi_1,\varphi_2,\dot{\varphi}_1,\dot{\varphi}_2) = \frac{m_1}{2} l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 + \frac{m_2}{2} \left( l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 + l_2^2 \dot{\varphi}_2^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_2 \cos(\varphi_1-\varphi_2) \right)$

$V(\varphi_1,\varphi_2) = -(m_1+m_2) g l_1 \cos\varphi_1 - m_2 g l_2 \cos\varphi_2$

Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:

$m_{2}l_{2}\ddot{\varphi}_{2}\cos\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right)l_{1}\ddot{\varphi}_{1}+m_{2}l_{2}\dot{\varphi}_{2}^{2}\sin\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right)g\sin\varphi_{1}=0$

und

$l_{2}\ddot{\varphi}_{2}+l_{1}\ddot{\varphi}_{1}\cos\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)-l_{1}\dot{\varphi}_{1}^{2}\sin\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+g\sin\varphi_{2}=0$

Triplependel

Der Fall n = 3 stellt das Triplependel dar.

Hier ergibt sich die kinetische Energie T zu:

$T(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3,\dot{\varphi}_1,\dot{\varphi}_2,\dot{\varphi}_3) = \frac{m_1+m_2+m_3}{2} l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 + \frac{m_2+m_3}{2} l_2^2 \dot{\varphi}_2^2 + \frac{m_3}{2} l_3^2 \dot{\varphi}_3^2 + (m_2+m_3) l_1 l_2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_2 \cos(\varphi_1-\varphi_2)$

$+ m_3 l_1 l_3 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_3 \cos(\varphi_1-\varphi_3) + m_3 l_2 l_3 \dot{\varphi}_2 \dot{\varphi}_3 \cos(\varphi_2-\varphi_3)$

Für das Potential V gilt:

$V(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) = -(m_1+m_2+m_3) g l_1 \cos\varphi_1 - (m_2+m_3) g l_2 \cos\varphi_2 - m_3 g l_3 \cos\varphi_3$

Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:

$m_{3}l_{3}\ddot{\varphi}_{3}\cos(\varphi_{1}-\varphi_{3})+ (m_2+m_{3})l_{2}\ddot{\varphi}_{2}\cos(\varphi_{1}-\varphi_{2}) + (m_1+m_2+m_{3})l_{1}\ddot{\varphi}_{1} + m_3 l_3 \dot{\varphi}_{3}^2 \sin(\varphi_{1}-\varphi_{3})$

$+ (m_2+m_3) l_2 \dot{\varphi}_{2}^2 \sin(\varphi_{1}-\varphi_{2}) + (m_1+m_2+m_3) g \sin\varphi_1=0$

und

$m_{3}l_{3}\ddot{\varphi}_{3}\cos(\varphi_{2}-\varphi_{3}) + (m_2+m_{3})l_{2}\ddot{\varphi}_{2}+ (m_2+m_{3})l_{1}\ddot{\varphi}_{1} \cos(\varphi_{1}-\varphi_{2}) - (m_2+m_3) l_1 \dot{\varphi}_{1}^2 \sin(\varphi_{1}-\varphi_{2})$

$+ m_3 l_3 \dot{\varphi}_{3}^2 \sin(\varphi_{2}-\varphi_{3}) + (m_2+m_3) g \sin\varphi_2=0$

und

$l_{3}\ddot{\varphi}_{3} + l_{2}\ddot{\varphi}_{2} \cos(\varphi_{2}-\varphi_{3}) + l_{1}\ddot{\varphi}_{1} \cos(\varphi_{1}-\varphi_{2}) - l_2 \dot{\varphi}_{2}^2 \sin(\varphi_{2}-\varphi_{3}) - l_1 \dot{\varphi}_{1}^2 \sin(\varphi_{1}-\varphi_{3}) + g \sin\varphi_3=0$

Simulation der Trajektorien

Simulation: n = 1

Simulation: n = 2

Simulation: n = 3

Literatur

• Georg Hamel: Theoretische Mechanik. Springer, Berlin 1967. Berichtiger Reprint 1978, ISBN 3-540-03816-7
• Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. 5. Auflage. VCH, Weinheim 1997, ISBN 3-527-29269-1
• Landau / Lifšic: Lehrbuch der theoretischen Physik. Band 1: Mechanik. 14. Auflage. Deutsch, Thun 1997, ISBN 3-8171-1326-9

Quellen

• L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Volume 1 of Course of Theoretical Physics. 3rd Edition 1976, ISBN 0-7506-2896-0, §5, S. 11 f. (Englisch)
• Herleitung der Differentialgleichungen zur Beschreibung des Doppelpendels (Englisch)

Siehe auch

Mathematisches Pendel, Doppelpendel, Magnetisches Pendel, Klassische Mechanik, Phasenraum, Henri Poincaré, KAM-Theorem

Weblinks

• Simulationen von Multipendeln (Deutsch)
• Doppelpendel-Simulation in Java und Python (Deutsch)