Kriterium von Kummer

Das Kummer-Kriterium (nach Ernst Eduard Kummer) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergiert.

Das Kriterium von Kummer beinhaltet folgende zwei Aussagen:

Formulierung

Sei $(c_k)_{k\in\N}$ eine positive reelle Zahlenfolge. Mit dieser wird die Reihe $S=\sum_{k=1}^\infty c_k$ gebildet. Diese Reihe soll auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden.

Konvergenzaussage

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge $(\alpha_k)\,$, so dass ab einem bestimmten Index $\mu\,$ der Ausdruck

$\alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k$

stets größer oder gleich einer positiven Konstante $\theta>0\,$ ist, dann konvergiert die Reihe $S=\sum_{k=1}^\infty c_k$ .

Divergenzaussage

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge $(\alpha_k)\,$, so dass

• die Reihe der reziproken Glieder $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\alpha_k}$ divergiert und
• ab einem bestimmten Index $\mu\,$ der Ausdruck

$\alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k$

stets kleiner gleich Null ist,

dann divergiert die Reihe $S=\sum_{k=1}^\infty c_k$ .

Beweise

Beweis der Konvergenzaussage

Es gelte für alle Indizes k > μ die Abschätzung

$0<\theta\le \alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k$.

Nach dem Durchmultiplizieren mit $c_k\,$ ergibt sich daraus

$\theta c_k\le \alpha_{k-1}c_{k-1}-\alpha_k c_k$.

Diese Ungleichung lässt sich nun von $k=\mu+1\,$ bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl $n>\mu\,$ nach Art einer Teleskopsumme aufsummieren.

$\theta \sum_{k=\mu+1}^n c_k \le \sum_{k=\mu+1}^n (\alpha_{k-1}c_{k-1}-\alpha_k c_k) = \alpha_\mu\, c_\mu-\alpha_n c_n$

Der letzte Ausdruck ist immer kleiner als $\alpha_\mu\, c_\mu$, diese Schranke hängt nicht von $n\,$ ab. Also gilt für alle $n>\mu\,$

$\sum_{k=\mu+1}^n c_k\le \frac{\alpha_\mu\, c_\mu}{\theta}$

Daher wächst die Folge der Partialsummen $S_n=\sum_{k=1}^nc_k$ ab dem Index $\mu\,$ monoton und ist nach oben beschränkt. Nach dem (Trivial-)Kriterium der monotonen Konvergenz konvergiert somit $S=\sum_{k=1}^\infty c_k$.

Beweis der Divergenzaussage

Es gelte für alle Indizes $k>\mu\,$ die Abschätzung

$\alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k\le 0$ und damit auch $\alpha_kc_k\ge\alpha_{k-1}c_{k-1}$.

Durch induktive Verkettung dieser Ungleichungen von $k=\mu+1\,$ bis zu einem beliebig großen Index $m>\mu\,$ ergibt sich

$\alpha_m c_m\ge\alpha_\mu c_\mu$,

nach weiterem Umstellen

$c_m\ge \frac{\alpha_\mu}{\alpha_m}c_\mu$.

Wird diese Ungleichung von $m=\mu+1\,$ bis zu einem beliebig großen Index $n\,$ aufsummiert, so folgt

$\sum_{m=\mu+1}^n c_m \ge \alpha_\mu c_\mu \sum_{m=\mu+1}^n \frac{1}{\alpha_m}$

Letzte Reihe divergiert nach Voraussetzung für $n\to\infty$. Also divergiert auch $S=\sum_{m=1}^\infty c_m$ nach dem Minorantenkriterium.