257-Eck

257-Eck oder Kreis?

Das 257-Eck ist eine geometrische Figur aus der Gruppe der Vielecke (Polygone). Es ist definiert durch 257 Punkte, die durch ebenso viele Kanten zu einer geschlossenen Figur verbunden sind.

Dieser Artikel befasst sich ausschließlich mit dem regelmäßigen 257-Eck, bei dem alle Seiten gleich lang sind, und dessen Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen. Es ist in der grafischen Darstellung von einem Kreis praktisch nicht zu unterscheiden (siehe Abbildung rechts).

Konstruktion

Das Besondere am 257-Eck ist die Tatsache, dass es unter Beschränkung auf die Hilfsmittel Zirkel und Lineal (die Euklidischen Werkzeuge) konstruiert werden kann. Die Zahl 257 ist eine der fünf bekannten Fermat'schen Primzahlen:

$257 = 2^{2^3}+1$.

Carl Friedrich Gauß bewies im Jahre 1796, dass ein Vieleck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, wenn die Zahl seiner Ecken abgesehen von einer beliebigen Zweierpotenz gleich einem Produkt verschiedener Fermat'scher Primzahlen ist.

Eine Konstruktionsanleitung für das regelmäßige 257-Eck wurde erstmalig im Jahre 1832 durch Friedrich Julius Richelot präsentiert. Duane W. DeTemple veröffentlichte 1991 ein Konstruktionsverfahren unter Verwendung von 150 Hilfskreisen, 1999 publizierte Christian Gottlieb eine weitere Konstruktionsvorschrift (s. Literatur).

Mathematischer Hintergrund

Der Konstruktion liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung x²⁵⁷ − 1 = 0 mittels geschachtelter Quadratwurzeln zugrunde. Diese Auflösung geschieht analog zum für das Siebzehneck beschriebenen Weg, wobei wie dort als Primitivwurzel wieder $g = 3\$ gewählt werden kann.

Eigenschaften

Der Zentriwinkel hat den Wert   $\frac{360^\circ}{257} \approx 1{,}4^\circ$.

Der Innenwinkel hat den Wert   $\frac{257 - 2}{257} \cdot 180^\circ \approx 178{,}6^\circ$.

Siehe auch

• Konstruierbare Polygone
• Prothsche Primzahl
• 65537-Eck

Literatur

• Friedrich Julius Richelot: De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Nr. 9, 1832, S. 1–26, 146–161, 209–230, und 337–358. (Faksimile dieses Artikels siehe Weblinks.)

• Duane W. DeTemple: Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygonal Constructions. In: The American Mathematical Monthly. No. 98, 1991, S. 97–108.

• Christian Gottlieb: The Simple and Straightforward Construction of the Regular 257-gon. In: Mathematical Intelligencer. Vol. 21, No. 1, 1999, S. 31–37.

Weblinks

• Faksimile der Veröffentlichung Richelots (siehe Literatur)
• Das 257-Eck auf www.mathworld.com (englisch)