Siebzehneck

regelmäßiges Siebzehneck

Das Siebzehneck (Heptadekagon) ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, welche durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind. Hier geht es um das regelmäßige Siebzehneck, welches siebzehn gleichlange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Eigenschaften

Briefmarke der Deutschen Post der DDR von 1977; Gauß, Siebzehneck, Zirkel und Dreieck

Der Zentriwinkel α hat einen Wert von $\tfrac{360^\circ}{17} \approx 21{,}17647059^\circ$.

Das Verhältnis der Länge einer Seite zum Umkreisradius beträgt:

$s = 2 \cdot r_u \cdot \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) \approx r_u \cdot 0{,}367499035633141$

Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist, das heißt, es kann unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (den Euklidischen Werkzeugen) gezeichnet werden. Dies wurde von Carl Friedrich Gauß im Jahre 1796 nachgewiesen. Er zeigte, dass der Kosinus des Zentriwinkels der Formel

$\cos \frac{360^\circ}{17} = \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{ 2 \left(17- \sqrt{17} \right)} + 2 \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \left(17- \sqrt{17} \right)} - 2 \sqrt{2 \left(17+ \sqrt{17} \right)} } \right)$

entspricht, woraus sich die Konstruierbarkeit ergibt.

Im Jahre 1825 veröffentlichte Johannes Erchinger erstmalig eine Konstruktionsanleitung für das regelmäßige Siebzehneck in 64 Schritten. Eine animierte Darstellung dieser Konstruktion folgt weiter unten.

Mathematischer Hintergrund

Der Entdeckung von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung x¹⁷ − 1 = 0 zugrunde, deren Lösungen − es handelt sich um die 17-ten Einheitswurzeln − in der Gaußschen Zahlenebenen der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Radius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch von geschachtelten Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil der „ersten“ von 1 verschiedenen Lösung ζ = e^{2πi / 17}). Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „Durch angestrengtes Nachdenken ... am Morgen ... (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“^[1] aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl p gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen $1, \ldots, {p - 1}$ können nämlich mit einer sogenannten Primitivwurzel $g\$ in der Form $1, g, g^2, \ldots, g^{p-2}$ aufgezählt werden, wobei im Fall $p = 17\$ konkret $g = 3\$ gewählt werden kann:

$1, 3 \cdot 1 = 3, 3 \cdot 3 = 9, 3 \cdot 9 - 17 = 10, 3 \cdot 10 - 17 = 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6$

Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17-ten Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge

$\zeta,\ \zeta^3,\ \zeta^9,\ \zeta^{10},\ \zeta^{13},\ \zeta^5,\ \zeta^{15},\ \zeta^{11},\ \zeta^{16},\ \zeta^{14},\ \zeta^8,\ \zeta^7,\ \zeta^4,\ \zeta^{12},\ \zeta^2,\ \zeta^6,$

so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:^[2]

• Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
• Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
• Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.

Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel ζ + ζ¹⁶ = ζ + ζ ^{− 1} = 2cos(2π / 17).

Konstruktion

Exakte Konstruktion

1. Zeichnen eines großen Kreises k₁ (des späteren Umkreises des entstehenden Siebzehnecks) um O,
2. Zeichnen eines Durchmessers AB,
3. Konstruktion der Mittelsenkrechten m, welche k₁ in C und D schneidet,
4. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO,
5. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FA,
6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₁ des Winkels OFA,
7. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₂ des Winkels zwischen m und w₁, Schnittpunkt mit AB ist Punkt G.
8. Konstruktion der Senkrechten s zu w₂ auf dem Punkt F,
9. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₃ zwischen s und w₂. Schnittpunkt mit AB ist Punkt H.
10. Konstruktion des Thaleskreises k₂ über HA. Die Schnittpunkte mit CD sind J und K.
11. Konstruktion eines Kreises k₃ um G, der durch J und K verläuft. Die Schnittpunkte mit AB sind die Punkte L und N (dabei liegt N sehr nahe am Mittelpunkt M von k₂).
12. Konstruktion einer Tangente zu k₃ durch N.

Die Schnittpunkte dieser Tangente mit dem Ausgangskreis k₁ sind die Punkte P₃ und P₁₄ des regelmäßigen Siebzehnecks. Mit A = P₀ lassen sich durch je siebenmaliges Abtragen des Abstandes d₁ in jede Richtung auf dem Kreis alle weiteren Punkte des Siebzehnecks finden.

Variation:

1. bis 5. wie vorher

6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₁ des Winkels OFA, Schnittpunkt mit AB ist Punkt Q.

7. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₂ des Winkels zwischen m und w₁, Schnittpunkt mit AB ist Punkt G.

8. Konstruktion eines Kreises k₄ um Q, der durch F verläuft, Schnittpunkt von k₄ mit AB ist H.

Weiter mit Schritt 10 der vorherigen Konstruktion.

Animation der Konstruktion Erchingers

Konstruktion des Siebzehnecks mit Zirkel und Lineal in 64 Schritten nach Johannes Erchinger

Siehe auch

• 257-Eck
• 65537-Eck
• Kreisteilung

Literatur

• Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). In: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, S. 101-118.

Einzelnachweise

1. ↑ zitiert nach Jörg Bewersdorff, Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, Vieweg+Teubner Verlag, 4. Auflage 2009, ISBN 9783834807762, S. 68 (online)
2. ↑ Details siehe Bewersdorff, S. 71-74

Weblinks

• Das Siebzehneck auf www.mathworld.com (englisch)