Ky-Fan-Ungleichung

In der Mathematik wird als Ky-Fan-Ungleichung eine von Ky Fan entdeckte und erstmals von (Lit.: Beckenbach und Bellman, 1983) publizierte Ungleichung bezeichnet. Ihre Bedeutung liegt vor allem darin, dass sie durch ihre Ähnlichkeit mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Ausgangspunkt für weitere Verallgemeinerungen ist.

Formulierung

In der einfachsten Form lautet die Ky-Fan-Ungleichung folgendermaßen:

Falls x_i für $i=1,\dots, n\;$ Zahlen mit $0 < x_i <\frac{1}{2}$ sind, dann gilt

$\frac{ \left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^{\frac{1}{n}}}{ \left(\prod_{i=1}^n \left(1- x_i \right) \right)^{\frac{1}{n} }} \ \leq \ \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i }{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(1- x_i \right) }$.

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn $x_1=\cdots=x_n\;$.

Bezeichnet man mit $A_n:=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ das arithmetische Mittel und mit $G_n:=\left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^{\frac{1}{n}}$ das geometrische Mittel der Zahlen $x_i\;$ sowie mit $A^\prime_n:=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (1-x_i)$ das arithmetische Mittel und mit $G^\prime_n:=\left(\prod_{i=1}^n (1-x_i) \right)^{\frac{1}{n}}$ das geometrische Mittel der Zahlen $1-x_i\;$, so nimmt die Ky-Fan-Ungleichung die Form

$\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}$

an; die Ähnlichkeit zur Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel $G_n\leq A_n$ wird damit deutlich.

Beweis

Ein einfacher Beweis für die Ky-Fan-Ungleichung ergibt sich, wenn man die Jensensche Ungleichung auf die Funktion $f(x)=\ln x -\ln (1-x)\;$ anwendet, die für $0<x\leq\frac{1}{2}$ konkav ist. Dieser Beweis liefert unmittelbar eine Verallgemeinerung der Ky-Fan-Ungleichung mit gewichteten Mittelwerten:

$\frac{ \prod_{i=1}^n x_i^{\gamma_i} }{ \prod_{i=1}^n \left(1- x_i \right)^{\gamma_i}}\leq\frac{ \sum_{i=1}^n \gamma_ix_i }{ \sum_{i=1}^n \gamma_i\left(1- x_i \right) }$,

wobei für die Gewichte $\gamma_i\geq 0$ und $\sum_{i=1}^n \gamma_i =1$ gelten muss.

Verwandte Ungleichungen

(Lit.: Wang und Wang, 1984) haben die Ky-Fan-Ungleichung auf die harmonischen Mittelwerte $H_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1/x_i}$ und $H^\prime_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1/(1-x_i)}$ erweitert:

$\frac{H_n}{H^\prime_n}\leq\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}$.

Literatur

• Horst Alzer: Verschärfung einer Ungleichung von Ky Fan. Aequationes Mathematicae 36 (1988) 246-250.
• E. F. Beckenbach und R. Bellman: Inequalities. Springer-Verlag, Berlin 1983, zitiert nach (Lit.: Alzer, 1988).
• Edward Neuman und Jósef Sándor: On the Ky Fan inequality and related inequalities I. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 5, Number 1 (2002), 49–56.
• Edward Neuman und Jósef Sándor: On the Ky Fan inequality and related inequalities II. Bulletin of the Australian Mathematical Society. Volume 72, Number 1 (2005), 87-107.
• Jósef Sándor und Tiberiu Trif: A new refinement of the Ky Fan inequality. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 2, Number 4 (1999), 529–533.
• W. Wang und P. Wang: A class of inequalities for the symmetric functions (Chinesisch) Acta Math. Sinica 27 (1984), 485-497, zitiert nach (Lit.: Alzer, 1988).