Lagrange-Gleichung

Die Lagrange-Funktion (nach Joseph-Louis Lagrange) ist ein zentrales Element zur Beschreibung von physikalischen Systemen im Lagrange-Formalismus der Klassischen Mechanik. Für konservative Systeme sowie für nicht-konservative Systeme mit einem generalisierten Potential und holonome Zwangsbedingungen lautet sie

$L = T - V,\!$

wobei T die kinetische und V die potenzielle Energie des betrachteten Systems bezeichnen.

Mathematischer Ursprung

d'Alembertsches Prinzip in generalisierten Koordinaten

Das d'Alembertsche Prinzip kann geschrieben werden als

$\sum^s_{k=1}\left[\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_k}-\frac{\partial T}{\partial q_k}-Q_k\right]\delta q_k=0$,

wobei q_k die generalisierten Koordinaten, Q_k die generalisierte Kraft, δq_k die virtuelle Verrückung der k-ten generalisierten Koordinate und s die Anzahl der Freiheitsgrade bezeichnet.

Betrachtet man das d'Alembert'sche Prinzip für holonome Zwangsbedingungen, so kann man verwenden, dass die generalisierten Koordinaten q_k unabhängig sind, wodurch die obige Summe in s einzelne Gleichungen zerlegt werden kann.

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_k}-\frac{\partial T}{\partial q_k}-Q_k=0$, mit k = 1,...,s

Konservative Kräfte

In einem konservativen System gilt

$Q = -\nabla V$, also für die Komponenten: $Q_k=-\frac{\partial V}{\partial q_k}$

wodurch die Gleichungen umgeschrieben werden können zu

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_k}-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_k}=0$

Da die potenzielle Energie V nicht von den generalisierten Geschwindigkeiten $\dot q_k$ abhängt, kann man auch schreiben

$\frac{d}{dt}\frac{\partial (T-V)}{\partial \dot q_k}-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_k}=0$,

weil es bei der Ableitung wieder wegfällt. Dies sind nun jedoch gerade die Lagrange-Gleichungen für eine Funktion :

$L(q_{1},\ldots,q_{s},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{s},t)=T(q_{1},\ldots,q_{s},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{s},t)-V(q_{1},\ldots,q_{s},t)$.

Spezielle nicht-konservative Kräfte

Lassen sich die generalisierten Kräfte durch ein geschwindigkeitsabhängiges generalisiertes Potential $V(q_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{n},t)$ in folgender Form schreiben

$Q_{i}=-\frac{\partial V}{\partial q_{i}}+\frac{d}{dt}\frac{\partial V}{\partial\dot{q}_{i}}$

bleiben die Euler-Lagrange-Gleichungen in ihrer gewohnten Form gültig

$\frac{d}{dt}\frac{\partial (T-V)}{\partial \dot q_k}-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_k}=0$,

und die Lagrangefunktion ist nun:

$L(q_{1},\ldots,q_{s},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{s},t)=T(q_{1},\ldots,q_{s},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{s},t)-V(q_{1},\ldots,q_{s},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{s},t)$

Beispiele

Konservatives System: Masse im harmonischen Potential

Eine Masse m sei über zwei Federn mit Gesamt-Federkonstante D und festen Randbedingungen verbunden (siehe Bild).

Schwingungssystem: x ist die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage

Grundvoraussetzung zur Beschreibung des Problems im Lagrange-Formalismus ist das Aufstellen der Lagrange-Funktion, indem man die Terme für kinetische und potentielle Energie aufstellt.

$T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2$   und   $V = \frac{1}{2}Dx^2$

Die Lagrange-Funktion lautet daher:

$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}Dx^2$

Die Lagrange-Funktion wiederum wird zur analytischen Beschreibung des physikalischen Problems in die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt, was dann auf Gleichungen führt, die den Bewegungsgleichungen in der Newtonschen Mechanik entsprechen. In unserem Beispiel lautet die generalisierte Koordinate einfach x, die Euler-Lagrange-Gleichung

${d\over dt}{\partial{L}\over \partial{\dot{x}}}={\partial{L}\over \partial x}$

und daraus dann

$\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m\dot{x}\right)=-D x$

führt auf die Bewegungsgleichung des Systems:

$\ddot{x} = -\frac{D}{m} x$.

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist $x(t)=A\cos(\omega t + \varphi)$, t ist die Zeit, $\omega=\sqrt{D/m}$ die Kreisfrequenz. Die Amplitude A = const und Phase $\varphi=\text{const}$ wird aus den Anfangsbedingungen bestimmt.

Nicht-konservatives System: Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld

Eine Punktladung q Masse m bewege sich im elektromagnetischen Feld. Die generalisierten Koordinaten entsprechen den kartesischen Koordinaten in 3 Raumdimensionen.

Die Felder (Magnetfeld $\mathbf{B}$ und elektrisches Feld $\mathbf{E}$) werden über das Skalarpotential φ und das Vektorpotential $\mathbf{A}$ bestimmt:

$\mathbf{B}(\mathbf{x},t)=\nabla\times\mathbf{A}(\mathbf{x},t)\ ,\quad\mathbf{E}(\mathbf{x},t)=-\frac{\partial\mathbf{A}(\mathbf{x},t)}{\partial t}-\nabla\phi(\mathbf{x},t)$

Die kinetische Energie des Teilchens ist klassisch:

$T(\dot{\mathbf{x}})=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{x}}^{2}$

Das Potential ist hier allerdings geschwindigkeitsabhängig:

$V(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t)=q\left(\phi(\mathbf{x},t)-\dot{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{x},t)\right)$

Somit ist die Lagrangefunktion eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld:

$L(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t)=\frac{1}{2}\, m\,\dot{\mathbf{x}}^{2}-q\,\phi(\mathbf{x},t)+q\,\dot{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{x},t)$

Die Euler-Lagrange-Gleichungen $\frac{d}{dt}\nabla_{\dot{\mathbf{x}}}L-\nabla_{\mathbf{x}}L=0$ führt auf die Bewegungsgleichung, auf deren rechter Seite die Lorentzkraft steht:

$m\,\ddot{\mathbf{x}}=q\,\dot{\mathbf{x}}\times\left(\nabla\times\mathbf{A}(\mathbf{x},t)\right)-q\,\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{A}(\mathbf{x},t)-q\,\nabla\phi(\mathbf{x},t)$

Relativistische Mechanik

In der relativistischen Mechanik gilt L = T − V nicht mehr. Dort ist die Lagrangefunktion für ein Teilchen mit Ruhemasse m₀ und Geschwindigkeit $\dot{\mathbf{x}}$ ohne Zwangsbedingungen gegeben durch:

$L(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t)=-m_{0}c^{2}\sqrt{1-\frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}\,-\, V(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t)$

Die relativistische kinetische Energie $T=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}\,}-m_{0}c^{2}$ ist nicht mit dem ersten Term identisch.

Für ein N-Teilchensystem ist die Lagrangefunktion mit den generalisierten Koordinaten

$L(q_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{n},t)=-\sum_{i=1}^{N}m_{0,i}c^{2}\sqrt{1-\frac{\dot{\mathbf{x}}_{i}^{2}(q_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{n},t)}{c^{2}}}\,-\, V(q_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{n},t)$

wobei n = 3N − s die Anzahl der Freiheitsgrade und s die Anzahl der holonomen Zwangsbedingungen ist.

Für kleine Geschwindigkeiten $|\dot{\mathbf{x}}|\ll c$ kann man die Wurzel bis zur ersten Ordnung entwickeln $\sqrt{1-x}=1+x/2$:

$-m_{0}c^{2}\sqrt{1-\frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}=-m_{0}c^{2}+\frac{m_{0}}{2}\dot{\mathbf{x}}^{2}$

Die nullte Ordnung der Entwicklung ist eine Konstante, die negative Ruheenergie. Da die Euler-Lagrange-Gleichungen invariant sind unter Addition einer Konstanten zur Lagrangefunktion, kann man den konstanten ersten Term vernachlässigen und man erhält wieder die klassische kinetische Energie:

$L(q_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{n},t)=\sum_{i=1}^{N}\frac{m_{0,i}}{2}\dot{\mathbf{x}}_{i}^{2}(q_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{n},t)\,-\, V(q_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{n},t)$

$L(q_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{n},t)=T(q_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{n},t)\,-\, V(q_{1},\ldots,q_{n},\dot{q}_{1},\ldots,\dot{q}_{n},t)$

Siehe auch

• Lagrange-Dichte
• Lagrange-Multiplikatoren
• Hamilton-Funktion

Weblinks

• Artikel "Von d´Alembert zu Lagrange II" auf www.matheplanet.com

Literatur

• H. Goldstein: Klassische Mechanik. Wiley-VCH. ISBN 978-3527405893