- Liouvillesche Formel
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Die liouvillesche Formel (benannt nach Joseph Liouville) ist eine Identität, welche die Determinante der Fundamentalmatrix eines linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems erster Ordnung mit der Spur der Koeffizientenmatrix verknüpft. Mit Hilfe der liouvilleschen Formel kann man beispielsweise die abelsche Identität leicht beweisen.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei ein Intervall, stetig und eine Matrixlösung von
d. h., ist differenzierbar mit . Dann gilt für alle die liouvillesche Formel
Einfache Folgerungen
- Insbesondere ist entweder für alle eine reguläre Matrix oder für kein . Im ersteren Fall nennt man eine Fundamentalmatrixlösung oder kurz Fundamentalmatrix. Gilt zudem , so heißt die Hauptfundamentalmatrixlösung in x0.
- Sei eine feste Matrix. Im Spezialfall der Matrixexponentialfunktion erhält man aus der liouvilleschen Formel
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- da Hauptfundamentalmatrixlösung für in 0 ist.
Literatur
- Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-30769-9.
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