Liouvillesche Formel

Liouvillesche Formel

Die liouvillesche Formel (benannt nach Joseph Liouville) ist eine Identität, welche die Determinante der Fundamentalmatrix eines linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems erster Ordnung mit der Spur der Koeffizientenmatrix verknüpft. Mit Hilfe der liouvilleschen Formel kann man beispielsweise die abelsche Identität leicht beweisen.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei J \subset \mathbb{R} ein Intervall, A: J \rightarrow
\mathbb{R}^{n \times n} stetig und \ \Phi eine Matrixlösung von

\ y'(x) = A(x)y(x)\ ,

d. h., \Phi: J \rightarrow \mathbb{R}^{n
\times n} ist differenzierbar mit \ \Phi'(x) = A(x)\Phi(x). Dann gilt für alle x, x_0 \in J die liouvillesche Formel

\det \Phi(x) = \det \Phi(x_0) \cdot \exp\left(\int_{x_0}^x {\rm
Spur}(A(s)){\rm d}s\right)\ .

Einfache Folgerungen

  • Insbesondere ist \ \Phi(x) entweder für alle x \in J eine reguläre Matrix oder für kein x \in J. Im ersteren Fall nennt man \ \Phi eine Fundamentalmatrixlösung oder kurz Fundamentalmatrix. Gilt zudem \ \Phi(x_0) = I, so heißt \ \Phi die Hauptfundamentalmatrixlösung in x0.
\det(e^{xA}) = e^{x\cdot\textrm{Spur}(A)}\ ,
da \ \Phi Hauptfundamentalmatrixlösung für \ y'(x) = Ay(x) in 0 ist.

Literatur

  • Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-30769-9.

Weblinks


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