- Abelsche Identität
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Die abelsche Identität ist ein Ausdruck für die Wronski-Determinante zweier linear unabhängiger homogener Lösungen einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Beziehung wurde 1827 von dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel hergeleitet.
Inhaltsverzeichnis
Aussage
Gegeben sei die lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung
- .
Für die Wronski-Determinante von zwei Lösungen der Differentialgleichung gilt dann
- .
Beweis
Nach Definition ist , worin ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung
- mit
ist. Gemäß der liouvilleschen Formel gilt
Anwendung
Die abelsche Identität erlaubt es, die Wronski-Determinante bei bekanntem Wert an der Stelle x0 für alle anderen x zu berechnen. Insbesondere ist die Wronski-Determinante konstant, wenn gilt. Aufgrund der Beziehung, die die Wronski-Determinante zwischen zwei linear unabhängigen Lösungen herstellt, erlaubt sie unter Umständen, die eine aus der anderen zu berechnen.
Literatur
- W. Boyce und R. Di Prima: Elementary differential equations and boundary value problems. Wiley, New York, 1969
- Eric W. Weisstein. Abel's Differential Equation Identity. From MathWorld-A Wolfram Web Resource. (siehe Weblinks)
Weblinks
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