Hauptvektorlösung

Als Fundamentalsystem bezeichnet man in der Analysis jede Basis des Vektorraums, der aus der Menge der Lösungen eines homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems gebildet wird.

Ist $\{y_1,\ldots,y_n\}$ ein Fundamentalsystem, so ist definitionsgemäß

$\{y \in C^1([a,b]; \mathbb{R}^n)\ |\ y = \sum_{k=1}^na_ky_k\ ,\ a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\}$

die Menge der Lösungen dieses homogenen Differentialgleichungssystems.

Die Kenntnis eines Fundamentalsystems ist Voraussetzung für das Verfahren der Variation der Konstanten, um eine spezielle Lösung von inhomogenen linearen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung bzw. inhomogenen linearen Differentialgleichungen höherer Ordnung zu konstruieren.

Fundamentalsystem, (Haupt-)Fundamentalmatrix und Wronski-Determinante

Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung

Gegeben sei ein lineares homogenes Differentialgleichungssystem erster Ordnung

$y^\prime(x)=A(x)\,y(x).$

Die Koeffizientenmatrix $A:[a,b]\to\R^{n\times n}$ ist dabei eine matrixwertige Funktion. Die Lösungen dieses Differentialgleichungssystems werden im Raum $C^1([a,b];\R^n)$ der stetig differenzierbaren Funktionen $y:[a,b]\to\R^{n}$ gesucht.

Hat diese Differentialgleichung zwei verschiedene Lösungen, so sind auch die Summe und Vielfache mit reellen Faktoren wiederum Lösungen. Die Lösungsmenge ist also ein reeller Unterraum im Raum aller stetig differenzierbaren Funktionen.

Ist die Koeffizientenmatrix A eine stetige matrixwertige Funktion, so kann der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf angewandt werden und nach diesem ist jede Lösung der Differentialgleichung schon eindeutig durch ihren Wert y(a) im Anfangspunkt des Intervalls eindeutig bestimmt. Andererseits ist auch jedes Anfangswertproblem mit beliebigem Anfangswert $\ y(a)=:y_0\in\R^n$ zu diesem Differentialgleichungssystem eindeutig lösbar. Daraus folgt, dass der Raum der Lösungen n-dimensional ist.

Definitionen

Jede Basis dieses n-dimensionalen Lösungsraums wird als Fundamentalsystem des linearen Differentialgleichungssystems bezeichnet. Meistens wählt man als Basis dasjenige System von Lösungsfunktionen $\{y_1(x), \ldots, y_n(x)\}$, für welche der Anfangswert y_i(a) = e_i der i-te kanonische Einheitsvektor ist.

Ist $\{y_1, \ldots, y_n\}$ ein Fundamentalsystem, so bezeichnet man die Matrix $\Phi(x) := (y_1(x)\ |\ \cdots\ |\ y_n(x)) \in \mathbb{R}^{n\times n}$ als Fundamentalmatrix (manchmal auch als Wronski-Matrix) und ihre Determinante $\ \det \Phi(x)$ als Wronski-Determinante. Ist Φ(x₀) für ein x₀ die Einheitsmatrix, so bezeichnet man Φ auch als Hauptfundamentalmatrix im Punkt x₀.

Die Fundamentalmatrix Φ ist ebenfalls Lösung einer homogenen gewöhnlichen (matrixwertigen) Differentialgleichung, nämlich von

$\Phi^\prime(x)=A(x)\Phi(x).$

Der Lösungsraum des ursprünglichen homogenen Systems im $\mathbb{R}^n$ ist dann $\{y \in C^1([a,b]; \mathbb{R}^n)\ |\ y(x)=\Phi(x)\cdot c,\ c \in \mathbb{R}^n\}$. Ist Φ sogar Hauptfundamentalmatrix in x₀, so löst y(x): = Φ(x)y₀ das Anfangswertproblem zu y(x₀) = y₀.

Die Fundamentalmatrix $\Phi(x)\in\R^{n\times n}$ ist für jedes $x\in[a,b]$ invertierbar. Für die Wronski-Determinante gilt die liouvillesche Formel.

Homogene lineare Differentialgleichung höherer Ordnung

Genauso wie im Fall erster Ordnung ist der Lösungsraum eines linearen Systems höherer Ordnung ebenfalls ein Vektorraum, und jede Basis dessen wird weiterhin als Fundamentalsystem bezeichnet.

Zur Definition der Fundamentalmatrix einer skalaren linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung

$y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}(x)$

betrachte man zunächst das hierzu korrespondierende Differentialgleichungssystem erster Ordnung, bestehend aus n Gleichungen

Y'(x) = A(x)Y(x) mit $A(x) := \begin{pmatrix} 0&1&&0\\ &\ddots&\ddots&\\ &&\ddots&1\\ a_0(x)&a_1(x)&\cdots&a_{n-1}(x)\\ \end{pmatrix} .$

[Der Zusammenhang ist folgender: y(x) löst die skalare Gleichung n-ter Ordnung genau dann, wenn $Y(x) := \begin{pmatrix} y(x)\\y'(x)\\ \vdots\\ y^{(n-1)}(x)\\ \end{pmatrix}$ Lösung obigen Systems erster Ordnung ist.]

Als Fundamentalmatrix (Wronski-Matrix) von

$y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}(x)$

bezeichnet man jede Fundamentalmatrix Φ des Systems erster Ordnung

$Y'(x) = A(x)Y(x)\ .$

Natürlich heißt Φ Hauptfundamentalmatrix in x₀, falls Φ(x₀) die Einheitsmatrix ist. detΦ bezeichnet man weiterhin als Wronski-Determinante.

Obige Reduktion der Gleichung auf ein System erster Ordnung liefert: Ist $\{y_1,\ldots,y_n\}$ ein Fundamentalsystem, so ist

$\Phi(x) := \begin{pmatrix} y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\ y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\ \vdots&\cdots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\\ \end{pmatrix}$

eine Fundamentalmatrix.

Konstruktion eines Fundamentalsystems

Im allgemeinen Fall ist es schwierig, Fundamentalsysteme zu konstruieren. Möglich wird dies erst durch eine spezielle Struktur der Differentialgleichung. Dazu gehört die skalare Differentialgleichung erster Ordnung, Differentialgleichungssysteme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten oder die eulersche Differentialgleichung. Ist a priori die Lösung einer homogenen Differentialgleichung hoher Ordnung bekannt, so kann man das Reduktionsverfahren von d'Alembert verwenden, um die Gleichung auf eine Differentialgleichung mit einer um eins erniedrigten Ordnung zurückzuführen.

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Es sei A eine Stammfunktion von a. Dann ist

$\ \{y(x) = \exp(A(x))\}$

ein Fundamentalsystem von y'(x) = a(x)y(x).

Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Im Fall einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

$\ y'(x) = A\cdot y(x)\ ,\ A \in \mathbb{R}^{n\times n}$

bestimmt man zunächst die Jordan-Normalform J der Matrix A sowie eine dazugehörige Jordan-Basis $B = \{b_1,\ldots,b_n\}$. Ist λ ein komplexer Eigenwert mit zugehörigen Basisvektoren $c_1,\ldots,c_k$, so möge man in der Jordan-Basis die Basisvektoren so wählen, dass $\overline{c_1},\ldots,\overline{c_k}$ als Basisvektoren zu $\overline{\lambda}$ vorkommen.

Nun geht man jede Kette von Hauptvektoren einzeln durch: Ist $v_1, \ldots, v_k \in B$ eine (vollständige) Hauptvektorkette zum Eigenwert λ, d. h.

$\ (A-\lambda I)v_{i+1} = v_i$,

so tragen sie zum Fundamentalsystem die k (Hauptvektor-)Lösungen

$y_1(x) = e^{\lambda x}v_1\ ,\ y_2(x) = e^{\lambda x}\left(\frac{x^1}{1!}v_1 + v_2\right)\ ,\ y_3(x) = e^{\lambda x}\left(\frac{x^2}{2!}v_1 + \frac{x^1}{1!}v_2 + v_3\right)\ ,\ \ldots\ ,$

allgemein

$y_i(x) = e^{\lambda x} \sum_{j=1}^i{\frac {x^{i-j}}{(i-j)!}v_j}\ ,\ i = 1, \ldots, k$

bei. Nachdem man alle Hauptvektorketten durchgegangen ist, hat man dann ein (ggf. komplexes) Fundamentalsystem aufgestellt.

Lineare Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Zur skalaren linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

$y^{(n)}(x) - \sum_{k=0}^{n-1}a_ky^{(k)}(x) = 0\ ,\ a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$

stelle man das charakteristische Polynom

$\chi(\lambda) := \lambda^n - \sum_{k=0}^{n-1}a_k\lambda^k$

auf. Seien $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ seine (paarweise verschiedenen) Nullstellen mit Vielfachheit $\mu_1,\ldots,\mu_k$. Dann trägt der Eigenwert λ_i zum (komplexen) Fundamentalsystem die μ_i Basisvektoren

$y_{i,1}(x) = e^{\lambda_i x}\ ,\ y_{i,2}(x) = xe^{\lambda_i x}\ ,\ \ldots\ ,\ y_{i,\mu_i}(x) = x^{\mu_i-1}e^{\lambda_i x}$

bei.

[Zur Erläuterung der Sprechweise: Führt man mit Hilfe der obigen Transformation die skalare Gleichung n-ter Ordnung auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zurück, so hat die Koeffizientenmatrix als charakteristisches Polynom genau dieses, welches hier angegeben wurde.]

Reelles Fundamentalsystem

Im Falle komplexer Nullstellen des charakteristischen Polynoms erhält man auf obige Weise n linear unabhängige Lösungen, welche aber teilweise komplexwertig sind - die komplexen Lösungen kommen jedoch immer in konjugiert komplexen Paaren vor, da die Differentialgleichung reell war. Nun sind mit y(x) auch ${\rm Re\;}y(x)$ und ${\rm Im\;}y(x)$ beides (reelle) Lösungen, da die Differentialgleichung linear ist. Man ersetze daher jedes Paar komplex konjugierter Lösungen $y(x), \overline{y}(x)$ im (komplexen) Fundamentalsystem durch ${\rm Re\;}y(x), {\rm Im\;}y(x)$. Auf diese Weise erhält man ein (reelles) Fundamentalsystem. Man beachte hierbei die eulersche Identität e^ix = cosx + isinx.

Periodisches Differentialgleichungssystem erster Ordnung

Für das System

$\ y'(x) = A(x)y(x)$

mit ω-periodischer stetiger Koeffizientenmatrix $A: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{m \times m}$ kann man zwar nicht explizit ein Fundamentalsystem konstruieren - jedoch macht der Satz von Floquet eine Aussage über die Struktur der Fundamentalmatrizen dieses Systems.

Beispiele

Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Man betrachte das Differentialgleichungssystem

$y'(x) = A\cdot y(x)\ ,\ A := \begin{pmatrix}3&-1&1\\2&0&1\\1&-1&2\\\end{pmatrix}.$

Die Matrix A besitzt 1 als einfachen Eigenwert und 2 als doppelten Eigenwert. Ihre Eigenräume lauten $E(A,1) = \langle\begin{pmatrix}0\\1\\1\\\end{pmatrix}\rangle\ ,\ E(A,2) = \langle\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix}\rangle.$ Für die Hauptvektorkette zum Eigenwert 2 benötigt man noch

$\textrm{Kern}(A-2I)^2 = \langle\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}\rangle.$

Wähle beispielsweise

$v_2 := \begin{pmatrix}0\\0\\2\\\end{pmatrix} \in \textrm{Kern}(A-2I)^2 \setminus \textrm{Kern}(A-2I).$

Dann muss als Hauptvektor erster Stufe $v_1 := (A-2I)v_2 = \begin{pmatrix}2\\2\\0\\\end{pmatrix}$ gewählt werden. Es ergibt sich als Fundamentalsystem {y₁,y₂,y₃} mit

$y_1(x) := e^x\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\\\end{pmatrix}\ ,\ y_2(x) := e^{2x}\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\0\\\end{pmatrix}\ ,\ y_3(x) := e^{2x}\cdot\left[\begin{pmatrix}2x\\2x\\0\\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\0\\2\\\end{pmatrix}\right]\ .$

Lineare Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Betrachte nun

y⁽⁴⁾(x) − y(x) = 0.

Diese Differentialgleichung hat als charakteristisches Polynom λ⁴ − 1, welches die vier Nullstellen 1, − 1,i, − i besitzt. Daher erhält man zunächst als komplexes Fundamentalsystem

{e^x,e ^{− x},e^ix,e ^{− ix}}.

Somit erhält man als ein reelles Fundamentalsystem

{e^x,e ^{− x},sinx,cosx}.

Literatur

• Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag 2006, ISBN 0-387-30769-9.