Magnetisches Kraftgesetz

Die Magnetostatik ist ein Teilgebiet der Elektrodynamik. Sie behandelt zeitlich konstante Magnetfelder (Magnetische Gleichfelder).

Grundlagen

In der Magnetostatik wird die räumliche Verteilung von Magnetfeldern in der Umgebung von Dauermagneten und von stationären Strömen (Konzept des Stromfadens) untersucht. Hierzu gehören neben den einzelnen magnetischen Eigenschaften der Stoffe wie Ferromagnetismus, Diamagnetismus etc. auch das Erdmagnetfeld. Außerdem beinhaltet die Magnetostatik die Kraftwirkung derartig erzeugter Felder auf Magnete und Ströme. Hierzu gehört das Verhalten eines magnetischen Dipols in einem zeitlich konstanten Magnetfeld; beispielsweise das Verhalten einer (frei beweglichen) Magnetnadel im Erdmagnetfeld. Die Grundbegriffe sind der Elektrostatik analog. Der positiven und negativen elektrischen Ladung entspricht Nordpol und Südpol bzw. positive und negative Polstärke eines Magneten. Im Gegensatz zur Elektrostatik können magnetische Polstärken nicht isoliert werden, sondern treten in einem Körper immer zusammen auf.

Veranschaulichung

Obwohl es keine isolierten magnetischen Ladungen (magnetische Monopole) gibt, können magnetostatische Effekte mit einer Analogie zur Elektrostatik veranschaulicht werden, dies wird insbesondere in der Schulphysik benutzt. Dabei betrachtet man einen Stabmagnet der Länge l als zwei entgegensetzte magnetische Ladungen im Abstand l.

Das Analogon zur elektrischen Ladung ist die magnetische Polstärke p, sie ist von der Dimension magnetischer Fluss und wird somit der Einheit Weber (Einheit) gemessen.

Es gilt dann das Magnetische Kraftgesetz (auch magnetostatisches Kraftgesetz):

$F= \frac{1}{4\pi\mu_0}\frac{p_1\cdot p_2}{r^2}$,

Dabei ist F die Kraft, μ₀ die magnetische Feldkonstante und p die magnetische Polstärke.

Feldtheorie

Für zeitlich konstante Felder entkoppeln die Gleichungen für E- und B-Felder. Setzt man in den Maxwellgleichungen alle Zeitableitungen gleich 0, so entstehen Gleichungen, die nicht gleichzeitig E und B enthalten. Die Phänomene der Magnetostatik lassen sich mit folgenden zwei reduzierten Maxwellgleichungen beschreiben:

I)   $\nabla \cdot \vec B = 0$

II)   $\nabla \times \vec B = \mu \vec j$

Man führt das Vektorpotential $\vec A$ als Hilfsfeld mit folgender Definition ein:

$\vec B = \nabla \times \vec A$

Dadurch wird automatisch die Gleichung $\nabla \cdot \vec B = 0$ erfüllt, da die Divergenz eines Rotationsfeldes identisch 0 ist $\nabla \cdot \left( {\nabla \times \vec A} \right) \equiv 0$.

$\vec A$ ist jedoch nicht eindeutig bestimmt, da $\vec B$ invariant ist unter einer Eichtransformation χ mit $\vec A' = \vec A + \nabla \chi$. D.h. die durch A und A' festgelegten B-Felder sind identisch. Dies ergibt sich aus

$\vec B' = \nabla \times \vec A' = \nabla \times \vec A + \nabla \times \nabla \chi = \nabla \times \vec A = \vec B$,

da die Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes verschwindet.

Setzt man $\vec B = \nabla \times \vec A$ in die inhomogene Maxwellgleichung (obige Gleichung II)

$\mu \vec j = \nabla \times \nabla \times \vec A = \nabla \left( {\nabla \cdot \vec A} \right) - \Delta \vec A$

ein, so ergibt sich mit der Coulomb-Eichung $\nabla \cdot \vec A = 0$ die besonders einfache Form:

$\Delta \vec A = - \mu \vec j$

Dies stellt für jede Komponente eine Poisson-Gleichung dar, die durch

$\vec {A}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{{4\pi}}\int d^3r'\frac{\vec j(\vec{r}\,')}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|}$

gelöst wird.

Wendet man die Rotation auf A an so erhält man das Biot-Savart-Gesetz für das physikalisch relevante B-Feld

$\vec B\left( {\vec r} \right) = \nabla _{\vec r} \times \vec A\left( {\vec r} \right) = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\int {\nabla _{\vec r} \times \frac{{\vec j\left( {\vec{r}\,'} \right)}}{{\left| {\vec r - \vec{r}\,'} \right|}}} d^3 r' = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\int {\left( {\nabla _{\vec r} \frac{1}{{\left| {\vec r - \vec{r}\,'} \right|}}} \right) \times } \vec j\left( {\vec{r}\,'} \right)d^3 r' = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\int {\vec j\left( {\vec{r}\,'} \right) \times \frac{{\vec r - \vec{r}\,'}}{{\left| {\vec r - \vec{r}\,'} \right|^3 }}d^3 r'}$

Für einen Stromfaden geht $\vec j\left( {\vec{r}\,'} \right)d^3 r'$ zu $Id\vec s\,'$ über:

$\vec B\left( {\vec r} \right) = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}I\int {d\vec{s}\,' \times \frac{{\vec r - \vec{r}\,'}}{{\left| {\vec r - \vec{r}\,'} \right|^3 }}}$

Magnetostatische Felder

Magnetostatische Felder existieren innerhalb gleichstromführender Leiter. Sie sind quellenfrei und es gibt keine magnetischen Ladungen,

$div \; B(r) = 0$.

Die Ursache magnetostatischer Felder sind bewegte elektrische Ladungen bzw. ihnen äquivalente Gleichströme mit der Wirbeldichte:
$rot \; H(r) = J_L(r)$.

Literatur

• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik. Bd.2: Elektrizität und Optik. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20210-2
• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-71251-0
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5