Mittelpunktsregel

Mittelpunktsregel

Die Mittelpunktsregel (auch Rechteckregel) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Integralen (Numerische Quadratur). Man nimmt dabei den Mittelpunkt des Intervalls [a;b] und multipliziert den Funktionswert an dieser Stelle mit der Intervallbreite (b-a) um das Integral zu bekommen:

$\int_{a}^{b}f(x) dx \approx f\left(\frac{a+b}{2} \right) \cdot (b-a)$.

Bei der zusammengesetzten Mittelpunktsregel wird nun das Intervall [a;b] in n Teilintervalle aufgeteilt. Anschließend führt man die Mittelpunktsregel für jedes der Teilintervalle aus und summiert die Flächen auf.

Beispiel

Es sei eine Funktion f(x) = ln x im Intervall [2;6] zu integrieren. Dazu wäre die Berechnung des Integrals $\int_2^6 f(x) dx = \int_2^6 \ln x dx$ nötig. Die allgemeine Lösung ist:

$\int \ln x dx = x \ln x - x + C$

Demnach ist $\int_2^6 f(x) dx = 5,3642...$

Bei der Nutzung der zusammengesetzten Mittelpunktsregel mit vier Teilintervallen ergibt sich folgendes:

1. Zerlegung des Intervalls [2;6] in vier Teilintervalle: [2;3], [3;4], [4;5] und [5;6] mit den Intervallmitten 2,5, 3,5, 4,5 und 5,5.
2. Berechnung von: $\frac{6-2}{4} \cdot (f(2,5) + f(3,5) + f(4,5) + f(5,5)) = \frac{4}{4} (\ln 2,5 + \ln 3,5 + \ln 4,5 + \ln 5,5) \approx 0,9163 + 1,2528 + 1,5041 + 1,7047 = 5,3779$
3. Es gilt also $\int_2^6 f(x) dx \approx 5,3779$

Weblinks

• Numerische Integration Ein Java Applet zur Darstellung verschiedener Integrationsmethoden