Newton-Cotes-Formel

Newton-Cotes-Formel für n = 2

Eine Newton-Cotes-Formel (nach Isaac Newton und Roger Cotes) ist eine numerische Quadraturformel zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Diesen Formeln liegt die Idee zu Grunde, die zu integrierende Funktion durch ein Polynom zu interpolieren und dieses als Näherung exakt zu integrieren. Die Stützstellen der Interpolation werden dabei äquidistant gewählt.

Herleitung

Zur numerischen Integration von $\int_a^b f(x) dx$ mit Hilfe einer Newton-Cotes-Formel wird das Intervall [a,b] in n gleich große Teilintervalle unterteilt. Dadurch erhält man n + 1 Stützstellen mit

$a \leq x_0 < x_1 < \ldots < x_n \leq b.$

Gilt dabei a = x₀ und b = x_n, so spricht man von einer abgeschlossenen Newton-Cotes-Formel, andernfalls von einer offenen Newton-Cotes-Formel. Zur Herleitung nehmen wir ein Interpolationspolynom p der Funktion f zu den gegebenen Stützstellen. Für dieses gilt

$p(x) = \sum_{i=0}^n f(t_i) L_{in}(x)$

mit L_in den Lagrange-Polynomen. Daraus folgt

$\int_a^b p(x) dx = (b-a) \sum_{i=0}^n f(x_i) \frac{1}{(b-a)} \int_a^b L_{in}(x) dx.$

Definition

Für die Newton-Cotes-Formel folgt dann

$\int_a^b f(x) dx \approx \int_a^b p(x) dx = (b-a) \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)$

mit den Gewichten

$w_i = \frac{1}{(b-a)} \int_a^b L_{in}(x) dx$

Dabei bezeichnet L_in(x) das i-te Lagrange-Polynom. Die Gewichte sind symmetrisch, das heißt w_{n − i} = w_i. Ihre Summe ergibt immer eins.

$L_{in}(x) = \frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)} {(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}$

Nach Konstruktion integrieren Newon-Cotes-Formeln Polynom bis zum Grad n exakt.

Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln

Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln von geradem Grad n haben die Eigenschaft, sogar Polynome vom Grad n+1 exakt zu integrieren.

Grad n	Name	Gewichte wi	Fehlerschranke
0	Rechtecksregel	0 1	$\frac{h^{2}}{2} f'(\xi)$
1	Trapezregel	$\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2}$	$\frac{h^3}{12} f''(\xi)$
2	Simpson-Regel / Keplersche Fassregel	$\frac{1}{6} \quad \frac{4}{6} \quad \frac{1}{6}$	$\frac{(\frac{1}{2}h)^5}{90} f^{(4)}(\xi)$
3	3/8 - Regel oder auch Pulcherrima	$\frac{1}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{1}{8}$	$\frac{3(\frac{1}{3}h)^5}{80} f^{(4)}(\xi)$
4	Milne-Regel	$\frac{7}{90} \quad \frac{32}{90} \quad \frac{12}{90} \quad \frac{32}{90} \quad \frac{7}{90}$	$\frac{8(\frac{1}{4}h)^7}{945} f^{(6)}(\xi)$
5		$\frac{19}{288} \quad \frac{75}{288} \quad \frac{50}{288} \quad \frac{50}{288} \quad \frac{75}{288} \quad \frac{19}{288}$
6	Weddle-Regel	$\frac{41}{840} \quad \frac{216}{840} \quad \frac{27}{840} \quad \frac{272}{840} \quad \frac{27}{840} \quad \frac{216}{840} \quad \frac{41}{840}$

Für große n sind diese Formeln aus praktischer Sicht unbrauchbar, da viele Funktionswerte ausgewertet werden müssen. Dabei kommt es vermehrt zu Rundungsfehlern und Auslöschung. Ab n = 8 treten in etlichen Formeln sogar negative Gewichte auf.

Offene Newton-Cotes-Formeln

Grad n	Name	Stützstellen xi	Gewichte wi	Fehlerschranke
0	Mittelpunktsregel	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{h^{3}}{24} f^{(2)}(\xi)$
1		$\frac{1}{4} \quad \frac{3}{4}$	$\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2}$	$\frac{h^{3}}{4} f^{(2)}(\xi)$
2		$\frac{1}{6} \quad \frac{1}{2} \quad \frac{5}{6}$	$\frac{3}{8} \quad \frac{2}{8} \quad \frac{3}{8}$
3		$\frac{1}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{5}{8} \quad \frac{7}{8}$	$\frac{13}{48} \quad \frac{11}{48} \quad \frac{11}{48} \quad \frac{13}{48}$

Literatur

• Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 6. Auflage, Teubner, Stuttgart 2006, ISBN 3-519-42960-8, S. 311–316