Monstergruppe

Die Monstergruppe ist eine der 26 sporadischen Gruppen in der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Für die meist mit einer der beiden symbolischen Bezeichnungen F₁ und M abgekürzte Monstergruppe werden häufig auch die englischen Bezeichnungen monster group, Fischer-Griess monster group oder friendly giant group benutzt. Der ungewöhnliche Name dieser Gruppe kann dadurch erklärt werden, dass sie mit Abstand die mächtigste aller 26 sporadischen Gruppen ist.

Entdeckungsgeschichte und Eigenschaften

Die sporadischen Gruppen sind jene endlichen einfachen Gruppen, die sich nicht in eine der 18 Familien endlicher einfacher Gruppen einordnen lassen. Von diesen gibt es 26 Stück, und die Monstergruppe ist unter diesen die mit Abstand mächtigste mit einer Gruppenordnung von

$\begin{alignat}{2} \left| M \right| & = 2^{46} \cdot 3^{20} \cdot 5^9 \cdot 7^6 \cdot 11^2 \cdot 13^3 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 47 \cdot 59 \cdot 71 \\ & = 808017\,424794\,512875\,886459\,904961\,710757\,005754\,368000\,000000 \\ & \approx 8 \cdot 10^{53} \\ \end{alignat}$

Die Existenz der Monstergruppe wurde 1973 von Bernd Fischer und Robert L. Griess vermutet. 1982 gelang Griess die Konstruktion der Monstergruppe als Automorphismengruppe einer kommutativen, nicht-assoziativen Algebra auf einem 196883-dimensionalen Raum. 1979 formulierten Simon Norton und John H. Conway eine Reihe von Vermutungen über Zusammenhänge zwischen der Monstergruppe und der j-Funktion („monstrous moonshine“), für deren Beweis der englische Mathematiker Richard E. Borcherds 1998 unter anderem auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Berlin die Fields-Medaille erhielt.

Die Teiler der Ordnung der Monstergruppe sind Potenzen aller supersingulären Primzahlen. Die Monstergruppe ist eine Galoisgruppe, das heißt sie ist Symmetriegruppe einer algebraischen Gleichung und kann durch Angabe dieser Gleichung vollständig charakterisiert werden.

Die Eindeutigkeit des Monsters wurde 1989 von Griess, Ulrich Meierfrankenfeld und Yoav Segev bewiesen.

Literatur

• Richard E. Borcherds: What is ... The Monster?, in: Notices of the AMS, Band 49 Nr. 9, Oktober 2002, S. 1076–1077 (englisch)
• Mark Ronan: Symmetry and the Monster. Oxford University Press 2006 (populärwissenschaftlich)