Möbius’sche Schleife

Möbiusband aus Papier

Ein Möbiusband, Möbiusschleife oder Möbius’sches Band ist eine zweidimensionale Struktur in der Topologie, die nur eine Kante und eine Fläche hat.

Beschreibung

Das Objekt geht derart in sich selbst über, dass man, wenn man auf einer der scheinbar zwei Seiten beginnt, die Fläche einzufärben, zum Schluss das ganze Objekt gefärbt hat. Es wurde im Jahr 1858 unabhängig voneinander von dem Göttinger Mathematiker und Physiker Johann Benedict Listing und dem Leipziger Mathematiker und Astronomen August Ferdinand Möbius entdeckt.^[1]

Ein anschauliches Möbiusband ist leicht herzustellen, indem man einen längeren Streifen Papier mit beiden Enden ringförmig zusammenklebt, ein Ende aber vor dem Zusammenkleben um 180° verdreht.

Kugeln auf dem Rand eines Möbiusbandes tauschen die Seiten

Andere interessante Effekte entstehen, wenn man auf dem Band eine Mittellinie oder zwei zur Mittellinie parallele Linien einzeichnet und das Band längs dieser Linie(n) aufschneidet, also es scheinbar halbiert oder drittelt. Im ersten Fall, also beim Durchschneiden entlang der Mittellinie, entsteht ein zweifach verdrillter (um 720° in sich verdrehter) Ring mit zwei Seiten und zwei Rändern. Im zweiten Fall entstehen zwei Objekte: Ein Möbiusband und ein zweifach verdrillter Ring, die ineinander hängen. Dieses Spiel kann man mit beliebig kleiner Einteilung fortsetzen: „viertelt“ man das Band, entstehen zwei doppelt verdrillte Bänder, die nicht nur ineinander hängen, sondern auch noch einmal häufiger umeinander geschlungen sind; „fünftelt“ man es, entsteht dieselbe Figur mit einem zusätzlichen Möbiusband, das in den beiden Ringen hängt; „sechstelt“ man das Band, erhält man zwei Ringe, die sich doppelt umschlingen und von einem weiteren Ring doppelt umschlungen werden, wobei der äußere und die beiden inneren Ringe beliebig untereinander austauschbar sind; „siebtelt“ man es wiederum, kommt wieder ein Möbiusband hinzu, das in den drei Ringen hängt usw. Ist n der Nenner des Bruchteils, in den man das Band scheinbar einteilt, so erhält man mit $r \in \mathbb N, r = \frac n2$ die Anzahl der Ringe; bleibt ein Rest von 1, ist zusätzlich ein Möbiusband durch die Ringe geschlungen.

Mathematisch gesehen ist das Möbiusband eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit. Eine weitere Fläche, die in diese Kategorie gehört, ist die Kleinsche Flasche; man kann eine Kleinsche Flasche so in zwei Teile zerlegen, dass aus ihr zwei Möbiusbänder entstehen.

Das mathematische Symbol für die Unendlichkeit wird manchmal fälschlicherweise als Möbiusband interpretiert.

Das Möbiusband in der Kunst

Berühmte Darstellungen des Möbiusbandes in der Kunst gibt es z. B. von M. C. Escher (Möbiusband I und II, 1963) und Max Bill (Koloß von Frankfurt, 1986), sowie in neuerer Zeit von Gideon Möbius-Sherman. Auch der argentinische Spielfilm „Moebius“ (1995) setzt sich mit dem Thema auseinander. In der Literatur wird das Möbiusband ebenfalls thematisiert: Die Struktur von John Barths Kurzgeschichtenserie „Lost In The Funhouse“ (dt. „Ambrose im Juxhaus“) basiert auf dem Unendlichkeits- oder Wiederholungsprinzip (z. B. fehlende Mitte) des Möbiusbandes. Auch wird dem Buch ein Möbiusband mitgeliefert, das postmoderne Literaturansätze („Frame-Tale“) spiegelt. Es ist beschriftet mit: „Once upon a time there was a story that began once upon a time ...“. Diese Form der Selbstreferenz ist typisch für sogenannte Seltsame Schleifen.

Praktische Anwendungen

• Bei Riemengetrieben, wo es für gleichmäßige Abnutzung sorgt.
• In der Mode als Möbiusschal
• In der Physik/Elektrotechnik:
  • als kompakter Resonator mit der Resonanzfrequenz bei der Hälfte baugleicher linearer Spulen (IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., vol. 48, no. 12, pp. 2465-2471, Dec. 2000).
  • als induktionsloser Widerstand (US Patent 3,267,406).
  • als Supraleiter mit hoher Sprungtemperatur (Raul Perez-Enriquez A Structural Parameter for High Tc Superconductivity from an Octahedral Moebius Strip in RBaCuO:123 type Perovskites Rev Mex Fis v.48 supplement 1, 2002, p.262)
  • der Stellarator ist ein Typus eines Kernfusionsreaktors, bei dem das Plasma durch entsprechend geformte Feldspulen auf eine Möbius-förmige Bahn gebracht wird.
• In der Chemie/Nanotechnologie:
  • als „Knotenmoleküle“ mit besonderen Eigenschaften (Knotane ^[2], Chiralität)
  • als molekulare Motoren (Angew Chem Int Ed Engl. 2005 Feb 25;44(10):1456-77).
  • als Graphene-Band (Nano-Graphit) mit neuartigen elektronischen Eigenschaften, wie helikalem Magnetismus (arXiv:cond-mat/0309636 v1 Physica E 26 February 2006)

Möbiusband in der Natur

• Geladene Teilchen, die im Magnetfeld der Erde eingefangen wurden, können sich auf einem Möbiusband bewegen ^[3]
• Das zyklische Protein Kalata B1, Wirkstoff der Pflanze Oldenlandia. O. affinis, als Naturheilmittel z. B. für die Geburtseinleitung, hat eine Möbius-Topologie ^[4]

Mathematische Darstellung

Plot eines Möbiusbandes

Das Möbiusband kann als Teilmenge des $\mathbb{R}^3$ mittels der folgenden Parameterdarstellung gezeichnet werden:

$x(r, \alpha) = \cos(\alpha) \cdot \left(1+\frac{r}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)$

$y(r, \alpha) = \sin(\alpha) \cdot \left(1+\frac{r}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)$

$z(r, \alpha) = \frac{r}{2} \sin\frac{\alpha}{2}$

wobei $0\leq \alpha < 2\pi$ und $-1\leq r \leq 1$. Damit wird in der X-Y-Ebene ein Möbiusband mit einer Breite von 1 und einem Innenradius von 1 um das Zentrum (0,0,0) erstellt. Der Winkel α bewegt sich um das Band, während r sich von der einen zu der anderen Kante bewegt.

Mit Hilfe von Zylinderkoordinaten (r,θ,z) wird durch die folgende Gleichung eine unbeschränkte Version des Möbiusbandes definiert:

$\log(r) \cdot \sin(\theta/2) = z \cdot \cos(\theta/2)$.

Möbiusband als Quotientenraum

Die Topologie bietet einen mathematischen Weg, ein Möbiusband durch das gegensinnige Zusammenkleben der Enden eines Papierstreifens herzustellen. Dort wird ein Möbiusband als Quotientenraum des Quadrats $(x,y) \in [0,1] \times [0,1]$ definiert, wobei zwei gegenüberliegende Seiten durch die Äquivalenzrelation $(0,y) \sim (1,1-y)$ für $0 \leq y \leq 1$ miteinander identifiziert werden. Das nebenstehende Diagramm verdeutlicht dies.

Spinoren

Man kann den Rand des Möbiusbandes auch als Spinor auffassen: Die Gruppe $\operatorname{Spin}(2)$ sei durch $0\leq\phi<4\pi$ parametrisiert. Den Spinor $\phi\mapsto\mathrm e^{\mathrm i\phi/2}$ kann man als Teilmenge

$\{(\mathrm e^{\mathrm i\phi/2},\mathrm e^{\mathrm i\phi})\mid0\leq\phi\leq4\pi\}\subset\mathbb C\times S^1$

auffassen; dies ist genau der Rand des Möbiusbandes

$\{(r\mathrm e^{\mathrm i\phi/2},\mathrm e^{\mathrm i\phi})\mid0\leq r\leq1,0\leq\phi\leq4\pi\}\subset\mathbb C\times S^1.$

Neue Erkenntnisse zur mathematischen Beschreibung eines Möbiusbands wurden im Jahr 2007 durch die Wissenschaftler E.L. Starostin und G.H.M. van der Heijden publiziert. ^{[5] [6]}

Literatur

• Rainer Herges: Möbius, Escher, Bach – Das unendliche Band in Kunst und Wissenschaft. In: Naturwissenschaftliche Rundschau 6/58/2005. Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft, S. 301–310, ISSN 0028-1050

Weblinks

• MathWorld (Engl.)
• Möbius strip – a web page with movies (Engl.)
• Möbius Zip Strip (Engl.)
• Animiertes Möbiusband bei EXOPAS

Einzelnachweise

1. ↑ Listing biography
2. ↑ http://en.wikipedia.org/wiki/Knotane
3. ↑ IEEE Transactions on Plasma Science, Vol. 30, No. 1, Feb 2002 http://www.pparc.ac.uk/frontiers/latest/update.asp?article=2U2&style=update
4. ↑ Protein Spotlight Issue 20: The protein with a topological twist
5. ↑ Numerator: Rätsel des Möbiusbands gelöst - Wissenschaft - SPIEGEL ONLINE - Nachrichten
6. ↑ The shape of a Mobius strip: Abstract: Nature Materials