Normalisator

Der Normalisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie.

Definition

Es seien G eine Gruppe und U eine Teilmenge von G. Der Normalisator von U in G (geschrieben: N_G(U)) ist die Menge aller $g \in G$, für die

gUg ^{− 1} = U

gilt. Dabei ist $gUg^{-1} = \left\{gug^{-1} \mid u \in U\right\}$.

Mit anderen Worten: Der Normalisator besteht aus denjenigen $g\in G$, für die gilt, dass U unter Konjugation mit g invariant ist.

Man beachte, dass lediglich gefordert wird, dass U als ganzes festbleibt, im Allgemeinen gilt also für einzelne Elemente $u\in U$ und $g\in N_G(U)$ durchaus $gug^{-1}\ne u$; es gilt aber stets $gug^{-1}\in U$.

Eigenschaften

• Der Normalisator ist eine Untergruppe von G.
• Eine Untergruppe U ist stets Normalteiler in ihrem Normalisator N_G(U). Genauer: N_G(U) ist die bezüglich Inklusion größte Untergruppe von G, in der U Normalteiler ist
• Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in G, wenn ihr Normalisator ganz G ist.
• Man kann den Normalisator auch wie folgt einführen:
  Sei G eine Gruppe. Man lasse G auf der Menge seiner Untergruppen durch Konjugation operieren. Dann ist der Stabilisator dieser Operation für eine gegebene Untergruppe gerade Normalisator dieser Untergruppe.

Beispiel

Es sei G die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen (mit reellen Einträgen) für eine natürliche Zahl n. Weiter sei U die Untergruppe der Diagonalmatrizen. Dann ist der Normalisator von U in G die Gruppe der Matrizen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag ungleich null ist. Der Quotient N_G(U) / U ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S_n.

Verwandte Begriffe

Fordert man, dass U elementweise invariant unter der Konjugation mit Gruppenelementen ist, erhält man den stärkeren Begriff des Zentralisators Z_G(U). Der Zentralisator ist ein Normalteiler im jeweiligen Normalisator.