Artinscher Ring

Der Begriff artinscher Ring oder artinscher Modul (nach Emil Artin) beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine gewisse Endlichkeitsbedingung.

Definition

Ein Modul M über einem Ring mit 1 heißt artinsch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• (absteigende Kettenbedingung) Jede absteigende Folge von Untermoduln wird stationär, d.h. in einer Kette

$M_1\supseteq M_2\supseteq M_3\supseteq\ldots$ gibt es einen Index N, so dass

$M_N=M_{N+1}=M_{N+2}=\ldots$ gilt.

• (Minimalbedingung für Untermoduln) Jede nichtleere Menge von R-Untermoduln von M hat ein minimales Element bezüglich Inklusion.

Ein Ring R heißt linksartinsch, wenn R artinsch als R-Linksmodul ist.

Ein Ring R heißt rechtsartinsch, wenn R artinsch als R-Rechtsmodul ist.

Ein Ring R heißt artinsch, wenn R links- und rechtsartinsch ist.

Die Untermoduln sind dann gerade die Ideale.

Eigenschaften

• Ist R eine (assoziative) Algebra über einem Körper K, und hat ein R-Modul M endliche K-Dimension, so ist M artinsch.
• Ein kommutativer Ring mit Einselement ist genau dann artinsch, wenn er noethersch und nulldimensional ist. (Ein Ring ist nulldimensional, wenn jedes Primideal maximal ist.) Insbesondere ist jeder Körper artinsch.
• Endlich erzeugte Moduln über einem artinschen Ring sind artinsch.
• Ein artinscher Integritätsring ist bereits ein Körper, es gilt sogar folgende stärkere Aussage: Ein Integritätsring, der die absteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt, ist ein Körper.
• Ein linksartinscher Ring ist auch linksnoethersch. (die Umkehrung gilt i.A. nicht, auch gilt dies nicht für R-Moduln)

Beispiele

• Ist K ein Körper, so sind die Ringe $K\times K$ und K[T] / (Tⁿ) artinsch.
• Die $\mathbb{Z}$-Moduln $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sind artinsch, $\mathbb{Z}$ selbst jedoch nicht.
• $\begin{pmatrix} \mathbb{Z} & \mathbb{Q} \\ 0 & \mathbb{Q} \end{pmatrix}$ ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.
• $\begin{pmatrix} \mathbb{Q} & \mathbb{R} \\ 0 & \mathbb{R} \end{pmatrix}$ ist rechtsartinsch, aber nicht linksartinsch.

Siehe auch

• noethersch