Orthogonalraum

Ein Komplement oder ein komplementärer Unterraum ist im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ein möglichst großer Unterraum, der einen vorgegebenen Unterraum nur im Nullpunkt schneidet. Der gesamte Vektorraum wird dadurch gewissermaßen in zwei unabhängige Teile zerlegt.

Definition: Komplement eines Untervektorraums

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K und U ein Unterraum von V. Dann heißt ein Unterraum W komplementär oder ein Komplement zu U, wenn die Bedingungen

• $U\cap W=\{0\}$

und

• U + W = V

erfüllt sind. Dabei steht U + W kurz für

$\{u+w\mid u\in U,w\in W\}.$

Man sagt dann auch: V ist die innere direkte Summe von U und W und schreibt $V=U\oplus W$. Da V dann auch kanonisch isomorph zur äußeren direkten Summe von U und W ist, lässt man die Attribute „innere“ oder „äußere“ meist weg.

Eigenschaften

• Ist W ein Komplement von U in V so lässt sich jeder Vektor $v\in V$ eindeutig als

v = u + w

mit $u\in U$ und $w\in W$ schreiben.

• Für die Dimensionen der entsprechenden Untervektorräume gilt

$\dim V = \dim U + \dim W.$

• Ist W ein Komplement zu U, so ist auch U ein Komplement zu W.
• Die Einschränkung der kanonischen Projektion $V\to V/U$ auf W ist ein Isomorphismus, siehe Faktorraum.

Definition: Orthogonales Komplement

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K, auf dem eine symmetrische oder alternierende Bilinearform oder eine hermitesche Sesquilinearform gegeben ist. Für einen Unterraum $U\subseteq V$ heißt

$U^\perp:=\{v\in V\mid\forall u \in U: \langle u,v\rangle=0\}$

das orthogonale Komplement oder der Orthogonalraum von U in V. Man beachte, dass es im Allgemeinen kein Komplement von U im oben definierten Sinne ist. Der Dualitätssatz besagt jedoch, dass, falls V endlichdimensional und s sowohl auf V als auch auf dem Unterraum U nicht ausgeartet ist, $V = U \oplus U^\bot$ gilt.

Die letzte Bedingung ist beispielsweise für positiv definite Skalarprodukte auf reellen oder komplexen Vektorräumen erfüllt.

Orthogonales Komplement in Hilberträumen

Ist V ein Hilbertraum und s das Skalarprodukt des Hilbertraums, so ist das orthogonale Komplement eines Unterraumes U ein Komplement seines Abschlusses $\bar U$, d.h.

$V=\bar U\oplus U^\perp.$

Das orthogonale Komplement ist stets abgeschlossen, und es gilt

$(U^\perp)^\perp=\bar U.$

Siehe auch

• Komplementärbasis