Atkinson-Maß

Das Atkinson-Maß (nach Anthony Atkinson [* 1944]) ist ein Ungleichverteilungsmaß, mit dem beispielsweise die Einkommens- oder Vermögensungleichheit in einer Gesellschaft berechnet werden kann.

Definition

Atkinson (1970) hat den Dalton-Index abgelehnt, da D nicht invariant, was positive lineare Transformationen der persönlichen Einkommenswohlfahrtsfunktionen anbelangt, ist. Dies hatte auch Hugh Dalton selbst aufgezeigt, jedoch konnte er dieses Problem nicht lösen.

Atkinson hat versucht, den Index so neu zu definieren, dass das Maß invariant ist, was zulässige Transformationen der Wohlfahrtszahlen anbetrifft. Atkinson erdachte sich als Lösung das „gleichverteilte Äquivalenzeinkommen“. Für beide Verteilungen – die ursprüngliche und die neue – wird angenommen, dass sie das gleiche Wohlfahrtsniveau erzielen.

Um das Konzept zu verdeutlichen, wenden wir einige Messartefakte mitsamt der realen Verteilung an. Zuerst ist anzumerken, dass für einen real verteilten Einkommensvektor x_i, $i = 1, 2, \ldots, N$ (nennen wir ihn Vektor a) nur einen gleichverteilten Einkommensvektor (bezeichnen wir ihn als Vektor b), dessen Elemente gleich μ sind, gibt; es gibt aber auch eine Zahl von äquivalent verteilten Vektoren (titulieren wir sie hier als Vektor c; vergleiche: Übersicht!). Eine äquivalente Einkommensverteilung ist eine Verteilung, welche das gleiche Wohlfahrtsniveau wie das der aktuellen Verteilung besitzt. Jedoch ist eine dieser äquivalenten Verteilungen (Vektoren c) auch „gleich“. Dies bezeichnet man als gleichverteilten Einkommensvektor, der in der Übersicht unter dem Namen Vektor d zu finden ist. μ ist die Durchschnittshöhe der aktuellen Verteilung, μ ^* wird zur Bezeichnung des Niveaus des gleichverteilten Äquivalenzeinkommens verwandt.

Vektoren-Übersicht:

• Vektor a: real verteilter Einkommensvektor: $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{N}$
• Vektor b: gleichverteilter Einkommensvektor: $\mu, \mu, \ldots, \mu, \ldots, \mu$
• Vektor c: äquivalent verteilter Einkommensvektor: $x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, \ldots, x_{1}^{*}, \ldots, x_{N}^{*}$
• Vektor d: gleichverteilter Äquivalenz-Einkommensvektor: $\mu^{*}, \mu^{*}, \ldots, \mu^{*}, \ldots, \mu^{*}$

Offensichtlich ist, dass $W_{b} \geq W_{a} = W_{c}$ und W_c = W_d gilt. Dann folgt: W_a = W_d. W steht für die soziale Wohlfahrt mit entsprechenden Verteilungen der Einkommensvektoren. Evident ist die folgende Beziehung: $\mu \geq \mu^{*}$. μ ^* ist definiert als die additive soziale Wohlfahrtsfunktion, die symmetrische, individuelle Nutzenfunktionen besitzt. Formal gilt:

$U (\mu) = \frac{1}{N} \sum\limits_{i = 1}^{N} U \left(x_{i}\right)$

oder äquivalent dazu:

$\mu^{*} = U^{- 1} \left[\frac{1}{N} \sum\limits_{i = 1}^{N} U \left(x_{i}\right)\right]\, .$

Der Index ist damals nach Atkinson als additive Umkehrfunktion des Verhältnisses zwischen dem äquivalenten Durchschnittseinkommen und dem realen Durchschnittseinkommen definiert worden:

$A = 1 - \frac{\mu^{*}}{\mu}\, ,$

welcher zwischen 0 (totale Gleichheit) und 1 (totale Ungleichheit) liegt. Es ist erkennbar, dass A nicht 1 sein kann – es sei denn, μ ^* ist 0, was für jede Verteilung μ > 0 unmöglich ist. Definiert man die totale Ungleichheit als die Situation, in der lediglich eine Person das Gesamteinkommen bezieht, – so ist Folgendes zu erkennen:

$A = 1 - \frac{\mu_{m}^{*}}{\mu}$

mit

$NU \left(\mu^{*}\right) = \sum\limits_{i = 1}^{N} U \left(x_i\right)$

sowie

$NU \left(\mu_{m}^{*}\right) = (N - 1) U (0) + U (N \mu)\, .$

Der Index ist skalenabhängig, sofern eine Einschränkung für die Beziehung U einführt. Falls diese Voraussetzung erfüllt ist, hat Atkinson gezeigt, gilt die folgende Form der Gleichung:

$U \left(x_i\right) = \begin{cases}\alpha + \frac{\beta}{1 - \varepsilon} x_{i}^{i - \varepsilon}; & \varepsilon \ne 1\, ;\\ \log_{e} x_{i}; & \varepsilon = 1\, .\end{cases}$

Anzumerken ist, dass $\varepsilon = 0$ gelten muss, um Konkavität zu gewährleisten, und dass $\varepsilon > 0$ zwingend sein muss, damit strenge Konkavität sichergestellt werden kann. Dies ist eine homothetische Funktion und sie ist linear, wenn $\varepsilon = 0$ gilt. Es ist zu beachten, dass ε 1 nicht übersteigen kann, weil in diesem Fall die variierende Komponente eine inverse Beziehung voraussetzt. α

ist normalerweise negativ, so dass $U \left(x_{i}\right)$ für x_i = 0 ebenfalls negativ ist. Andernfalls ist U_i = α, wenn x_i = 0 gilt, was bedeutet, dass die Wohlfahrt positiv ist, sogar wenn das Einkommen 0 beträgt. Dies ist im Allgemeinen nicht zulässig. Ganz im Gegenteil wäre ein negatives α akzeptabler. Falls $\varepsilon = 1$ gilt, ist α negativ sowie unendlich groß.

Sobald ε den Wert 0 annimmt, ist Atkinsons Bedingung keine strikte Konkavität. Amartya Sen (1973) hat eine Frage gehabt. Er hat die Betrachtung der zwei Verteilungen $(0 \vert 10)$ sowie $(5 \vert 5)$ mit:

$U \left(x_{i}\right) = \alpha + \beta \left(x_{i}\right)$

bedacht.

Damals hat er darauf hingewiesen, dass für das soziale Wohlfahrtsniveau (2α + 10β) für jede Verteilung gilt. μ ^* wäre in beiden Fällen 5. μ ist natürlich auch 5. Das Ungleichheitsmaß A ist hierbei 0. Also sind beide Verteilung ethisch gleich. Dies ist offenkundig absurd. Daher sollte die Relation der abschnittweise definierten Funktion $U \left(x_{i}\right)$ mit der Einschränkung $\varepsilon > 0$ definiert werden. Es ist noch zu erwähnen, dass $A = 1 - \tfrac{\mu_{m}^{*}}{\mu}$ eine iso-elastische Grenznutzenfunktion darstellt.

ε ist der Ungleichheitsaversionsparameter und hat eine sehr große Ähnlichkeit mit dem Risiko-Aversionsparameter. Atkinson hat vorgeschlagen, formal eine Parallele zu verwenden, um das Problem der Risikomessung zu lösen. Er findet, dass sein Konzept des gleichverteilten, äquivalenten Einkommens der Risikoprämie oder dem Sicherheitsäquivalenzeinkommen, wie es in der Theorie der Entscheidung unter Unsicherheit/Ungewissheit heißt, sehr ähnelt. Wenn man diese restriktive, persönliche Einkommenswohlfahrtsfunktion zusammen mit der einfachen Aggregation individueller Wohlfahrten einführt, um die soziale Wohlfahrt in das Ungleichheitsmaß A einzusetzen, erhält man den folgenden Zusammenhang:

$A = 1 - \left[\frac{1}{N} \sum\limits_{i = 1}^{N} \left(\frac{x_{i}}{\mu}\right)^{1 - \varepsilon}\right]^{\frac{1}{1 - \varepsilon}}\, ;\quad \varepsilon \ne 1\, .$

Nun ist die Frage auf die Wahl von ε beschränkt. Steigt ε an, so sind die Transfers am „unteren Ende“ der Verteilung größer und die am „oberen Ende“ kleiner. Wenn ε ansteigt, so nimmt die letzte Gleichung von A die Funktion ${\min}_{i} \left(x_{i}\right)$ an, die nur die Transfers der untersten Einkommensgruppe berücksichtigt (und ist hierfür nicht streng konkav). Falls $\varepsilon = 0$ ist, so ist U_i linear. Es resultiert, dass A 0 ist. Das bedeutet, dass A gar keinen deskriptiven Gehalt besitzt. Falls $\varepsilon \to 1$ gilt, folgt für A:

$A = 1 - \prod\limits_{i = 1}^{N} \left(\frac{x_{i}}{\mu}\right)^{\frac{1}{N}} = 1 - \frac{\hat\mu}{\mu}\, ,$

was dem Champernowne-Index entspricht. Für Werte von ε zwischen 0 und 1 müssen die Ausdrücke nicht sehr elegant sein. Als Parameter ε wird oft $\tfrac{1}{2}$, $\tfrac{1}{3}$ oder $\tfrac{2}{3}$ gewählt.

Eigenschaften

Bei maximaler Ungleichheit ist es 1, bei maximaler Gleichheit 0. Basis für die Messung der Ungleichheit ist eine Wohlfahrtsfunktion, von der angenommen wird, dass 1 € mehr bei hohem Einkommen weniger zusätzliche Wohlfahrt stiftet als bei niedrigem Einkommen. Das heißt, es wird zur Messung der Wohlfahrt eine konkave Nutzenfunktion f(x) angenommen:

f'(x) > 0

und

f''(x) < 0.

Wie stark das Atkinson-Maß auf Ungleichheiten reagiert wird von der zugrunde gelegten Wohlfahrtsfunktion bestimmt. Dabei wird eine Arrow-Wohlfahrtsfunktion verwendet, die durch einen Parameter Epsilon ε festlegt, wie groß der Wohlfahrtsunterschied eines zusätzlichen Euros zwischen einer Person mit einem hohen und einem niedrigen Einkommen ist. Durch diesen Parameter Epsilon wird festgelegt wie sensitiv das Atkinson-Maß auf Einkommensungleichheiten reagiert. Je größer Epsilon ist, desto stärker reagiert das Atkinson-Maß auf Ungleichheit. Zur Interpretation der Maßzahl muss der Parameter Epsilon mit angegeben werden. Demzufolge stellt Epsilon eine die Ungleichheitsaversion angebenden Paremater dar. Nimmt ε beispielsweise den Wert 0 an, so bedeutet dies, dass die Verteilung der Einkommen gesellschaftlich gesehen unerheblich ist.

Für den sich aus der „verallgemeinerten Entropie-Klasse“^[1] mit $\varepsilon = 1$ ergebenden Theil-Index I₁ ergebenden Theil-Index gilt, dass er in ein von Atkinson entwickeltes Entropiemaß^[2] umgewandelt werden kann, das in der Literatur auch als „normalisierter Theil-Index“ auftrat.^[3] Das Maß errechnet sich aus der Funktion 1 − e ^{− T}.

Literatur

Originalaufsatz:

• Anthony B. Atkinson: On the Measurement of Inequality. In: Journal of Economic Theory. Bd. 2 (3), 1970. S. 244–263.

Zur Vertiefung:

• Yoram Amiel: Thinking about inequality. Cambridge 1999.
• Frank Alan Cowell: Measurement of Inequality. In: Anthony  B. Atkinson, François Bourguignon (Hg.): Handbook of Income Distribution. Bd. 1, Amsterdam et al. 2000. S. 87–166.
• Amartya Sen, James Eric Foster: On Economic Inequality. Oxford University Press, Oxford 1996. ISBN 0-19-828193-5. (Python script mit wichtigen Formeln aus dem Buch, darunter auch Formeln zur Berechnung des Atkinson-Indexes)

Weblinks

• Pramod Kumar Chaubey (eGyanKosh, IGNOU/Indira Gandhi National Open University): Unit 11: Measures of Inequality – PD/gemeinfrei (PDF-Datei; 3,34 MB).

Einzelnachweise

1. ↑ „Generalized Entropy Class“, Janes E. Foster im Annex A.4.1 (S. 142) von Amartya Sen: On Economic Inequality. 1973/1997.
2. ↑ Anthony B. Atkinson entwickelte verschiedene Maße. Das mit dem Theil-Index verwandte Maß findet sich bei Lionnel Maugis in: Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (Veröffentlichung für IFORS 96). 1996.
3. ↑ Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties. 2005.