Plastizitätstheorie

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Die phänomenologische Plastizitätstheorie gehört zur Kontinuumsmechanik. Sie beschreibt den Spannungs- und Verzerrungszustand (Umformzustand) eines festen Körpers unter dem Einfluss einer Belastung, behandelt aber im Gegensatz zur Elastizitätstheorie keine reversible Verformung, das Material hat anschaulich gesprochen schon zu fließen begonnen.

Bekannte Wissenschaftler, die an der Entwicklung der Plastizitätstheorie beteiligt waren, waren zum Beispiel Barré de Saint-Venant und sein Schüler Maurice Lévy, sowie Ludwig Prandtl, Richard von Mises, Henri Tresca, Arpad Nadai, Heinrich Hencky, William Prager, Theodore von Kármán, Hilda Geiringer, Rodney Hill, Daniel Drucker, Wadim Sokolowski und Lazar Katschanow (L. M. Kacanov).

Beschreibung des Spannungstensors

Die Modellvorstellung betrachtet zunächst einen kleinen Würfel an dessen paarweise zusammengehörigen gegenüberliegenden Flächen je eine Spannung in beliebiger Richtung und Größe angreift. Jede dieser drei Spannungen lässt sich nun in ihrer zugehörigen Fläche in je eine Normalspannung und in je zwei Tangentialspannungen (Schubspannungen) zerlegen. Mathematisch entsteht somit der aus insgesamt neun Elementen bestehende Spannungstensor.

Wird nun dieser Würfel etwas in seiner Lage verändert, so ändert sich an den angreifenden Spannungen nichts, jedoch wird sich die Aufteilung in die Normal- und Schubspannungen verändern. Es lässt sich nun zeigen, dass es eine Lage gibt, bei der die Normalspannungen je einen Maximalwert erreichen und die Schubspannungen alle verschwinden. Zu erkennen ist diese Lage an den Wirkungen der Spannungen. Normalspannungen bedingen Längenänderungen und Schubspannungen Winkeländerungen. Wenn sich zumindest die Modellvorstellung für eine Verzerrung (Umformung) nur aus Längenänderungen zusammensetzen lässt, kann angenommen werden, dass diese für die weitere mathematische Behandlung günstige Lage gegeben ist. (Aus einem Quader vor der Umformung entsteht wieder ein Quader nach der Umformung; parallelepipedische Umformung). Man nennt diesen Zustand auch „Hauptspannunszustand“ und die übrig gebliebenen Längsspannungen „Hauptspannungen“. Es wird dann von der elementaren Plastizitätstheorie gesprochen.

Anwendung

Die elementare Plastizitätstheorie hat breite Anwendung bei der bildsamen Formgebung von Metallen insbesondere in der Massivumformung gefunden. Dabei besteht zunächst ein Widerspruch, da Metalle kristallin, also strukturiert aufgebaut sind. Diese Anisotropie besteht jedoch nur im mikroskopisch sehr kleinen Bereich der „Körner“ (Größenordnung etwa um 50 µm in jeder Richtung), die wiederum auf Grund der Art ihrer Entstehung aus dem flüssigen (Guss-)Zustand in ihrer Orientierung völlig regellos durcheinander liegen. Im Ergebnis ergibt sich damit für einen in der Umformtechnik praktisch immer vorhandenen makroskopischen Körper ein scheinbar gleichmäßiger Aufbau (Quasi-Isotropie).

Literatur

• Hinkfoth: Massivumformung. Mainz, Aachen 2003, ISBN 3-86130-184-9.