Verzweigung (Algebra)

Verzweigung ist ein mathematischer Begriff, der die Gebiete Algebra, algebraische Geometrie und komplexe Analysis miteinander verbindet.

Namengebendes Beispiel

Es sei n > 1 eine natürliche Zahl und $f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ die Funktion $z\mapsto w=z^n$. Ist nun $z_0\ne 0$ und U eine (hinreichend kleine) Umgebung von z₀, so besteht das Urbild von U aus n Zusammenhangskomponenten, die durch eine Rotation um 2π / n, also Multiplikation mit einer n-ten Einheitswurzel auseinander hervorgehen. Bewegt sich $z_0\to0$, so bewegen sich auch die Urbilder gegen 0, um dann für z₀ = 0 zu einem einzigen Urbild zu verschmelzen. 0 ist also gewissermaßen der Verzweigungspunkt für die n Zweige. (Man beachte, dass die Zweige lokal bei 0 nicht getrennt sind, auch wenn man die 0 entfernt.)

Für den Übergang zu einer algebraischen Sichtweise sei nun g(w) eine holomorphe Funktion, die in einer Umgebung der 0 definiert ist. Hat g bei 0 eine k-fache Nullstelle, so hat die zurückgezogene Funktion

$f^*(g)=g\circ f,\quad z\mapsto g(z^n)$

eine nk-fache Nullstelle. Dieses Zurückziehen lokal definierter holomorpher Funktionen entspricht einem Ringhomomorphismus

$f^*\colon\mathbb C\{w\}\to\mathbb C\{z\},\quad w\mapsto z^n.$

(Dabei bezeichnet $\mathbb C\{w\}$ den Ring der Potenzreihen, deren Konvergenzradius positiv ist.) Die Nullstellenordnung ist eine diskrete Bewertung auf den beteiligten Ringen, und es gilt wie gesagt

$\operatorname{ord}_{z=0}f^*(g)=n\cdot\operatorname{ord}_{w=0}g.$

Diese Eigenschaft ist charakteristisch für Verzweigungspunkte.

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen bewerteter Körper

Es sei K ein Körper mit einer diskreten (Exponential-)Bewertung $v\colon K^\times\to\mathbb R$. Weiter seien

$\mathcal O_K=\{x\in K\mid v(x)\geq0\}$ bzw. $\mathfrak m_K=\{x\in K\mid v(x)>0\}$

der Bewertungsring bzw. das Bewertungsideal von K, π_K eine Uniformisierende, d. h. ein Erzeuger von $\mathfrak m_K$, und $\kappa=\mathcal O_K/\mathfrak m_K$ der Restklassenkörper. Weiter sei L eine endliche Erweiterung von K mit diskreter Bewertung $w\colon L^\times\to\mathbb R$, die v fortsetzt, d. h. w | _K = v. Schließlich seien $\mathcal O_L,\mathfrak m_L,\pi_L,\lambda$ analog zu oben.

Der Verzweigungsindex von L / K ist definiert als

$e_{w/v}=\frac{v(\pi_K)}{w(\pi_L)}=(w(L^\times) : v(K^\times))$

Ist er gleich 1, so heißt die Erweiterung unverzweigt. Sein Gegenstück ist der Trägheitsgrad f_{w / v} = [λ:κ].

Eigenschaften

• Ist die Erweiterung L / K separabel, und durchläuft w alle möglichen Fortsetzungen von v, so gilt die fundamentale Gleichung^[1]

∑	ew / vfw / v = [L:K].
w / v

• Ist K darüber hinaus vollständig, so ist w eindeutig bestimmt^[2] als

$w(x)=\frac1{[L:K]}v(N_{L/K}(x)),$

und es gilt^[3]

e_{w / v}f_{w / v} = [L:K].

• Es seien nun K vollständig und L / K galoissch, und außerdem sei λ / κ separabel. (Diese Voraussetzungen sind beispielsweise für lokale Körper erfüllt.) Dann ist λ / κ sogar galoissch, und es gibt eine kurze exakte Sequenz^[4]

$1\to I\to\mathrm{Gal}(L/K)\to\mathrm{Gal}(\lambda/\kappa)\to1;$

dabei bezeichnet man den Kern I als Trägheitsgruppe. Ihr Fixkörper T ist die maximale unverzweigte Teilerweiterung^[5] von L / K, und im Fall endlicher Erweiterungen gilt

$[L:T]=\#I=e,\quad[T:K]=f.$

Insbesondere gilt: Ist L / K unverzweigt, so ist

$\mathrm{Gal}(L/K)\cong\mathrm{Gal}(\lambda/\kappa).$

Ist K^nr die maximale unverzweigte Erweiterung (in einem separablen Abschluss K^sep von K), so gilt entsprechend

$\mathrm{Gal}(K^\mathrm{nr}/K)\cong\mathrm{Gal}(\kappa^\mathrm{sep}/\kappa).$

Im Fall lokaler Körper ist letztere Gruppe kanonisch isomorph zu $\hat{\mathbb Z}$, hat also eine besonders einfache Struktur. Da die Galoisgruppe Gal(κ^sep / κ) im Frobenius-Automorphismus

$x\mapsto x^q$ mit $q=\#\kappa$

einen kanonischen Erzeuger besitzt, gibt es auch in Gal(K^nr / K) ein kanonisches Element, das ebenfalls als Frobenius-Automorphismus bezeichnet wird.

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen

Es sei A ein Dedekindring mit Quotientenkörper K, L eine endliche separable Erweiterung von K und B der ganze Abschluss von A in L; B ist wieder ein Dedekindring.^[6]

Einer der wichtigsten Spezialfälle ist $A=\mathbb Z$, $K=\mathbb Q$, L ein Zahlkörper und B sein Ganzheitsring.

Weiter sei $\mathfrak p$ ein maximales Ideal von A. Dann lässt sich $\mathfrak pB$ auf eindeutige Weise als Produkt von Potenzen verschiedener Primidealen von B schreiben:

$\mathfrak pB=\mathfrak P_1^{e_1}\cdots\mathfrak P_k^{e_k}.$

Die Zahlen e_i heißen Verzweigungsindizes, die Grade der Restklassenkörpererweiterungen $f_i=[B/\mathfrak P_i:A/\mathfrak p]$ Trägheitsgrade.

• Ist e_i = 1 und die Erweiterung der Restklassenkörper separabel, so heißt $\mathfrak P_i$ unverzweigt. (Im Fall von Zahlkörpern und Funktionenkörpern über endlichen Körpern ist die Restklassenkörperweiterung stets separabel.)
• Ist f_i = 1, so heißt $\mathfrak P_i$ rein verzweigt.
• Sind alle $\mathfrak P_i$ unverzweigt, so heißt $\mathfrak p$ unverzweigt. $\mathfrak p$ zerfällt dann in ein Produkt verschiedener Primideale.
• Sind alle Primideale (ungleich null) von K unverzweigt, so heißt die Erweiterung L / K unverzweigt.

Eigenschaften

• Ein Primideal $\mathfrak P$ von L über einem Primideal $\mathfrak p$ von K ist genau dann unverzweigt in dem hier definierten Sinne, wenn die Erweiterung L / K mit den durch $\mathfrak P$ bzw. $\mathfrak p$ definierten Bewertungen unverzweigt im bewertungstheoretischen Sinne ist.
• Es gilt die fundamentale Gleichung^[7]

$[L:K]=\sum_{i=1}^k e_if_i.$

• Es gibt stets nur endlich viele verzweigte Primideale in K.^[8] Ein Primideal in K ist genau dann verzweigt, wenn es die Diskriminante teilt;^[9] ein Primideal in L ist genau dann verzweigt, wenn es die Differente teilt.^[10]
• Es gibt keine unverzweigten Erweiterungen von $\mathbb Q$.^[11]
• Ist L / K eine Galoiserweiterung globaler Körper und $\mathfrak p$ unverzweigt, so gibt es analog zum lokalen Fall für jedes Primideal $\mathfrak P$ über $\mathfrak p$ einen Frobenius-Automorphismus $\varphi_{\mathfrak P}\in\mathrm{Gal}(L/K)$, der die Zerlegungsgruppe von $\mathfrak P$ erzeugt. Er ist die Grundlage für das Artinsymbol der Klassenkörpertheorie.^[12]

Beispiel

Ein verhältnismäßig einfacher Dedekindring ist der Ring der Eisensteinzahlen. Betrachtet man sie, wie üblich, als Erweiterung der ganzen Zahlen, dann ist hier genau das von der Primzahl 3 (im Ring der ganzen Zahlen) erzeugte Primideal verzweigt.

Unverzweigte Schemamorphismen

Es seien X und Y Schemata und $f\colon X\to Y$ ein Morphismus lokal endlicher Präsentation. Dann heißt f unverzweigt, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: ^[13]

• $\Omega^1_{X/Y}=0$
• Für einen (und damit für jeden) Morphismus $g\colon Y\to Z$ ist

$f^*\Omega^1_{Y/Z}\to\Omega^1_{X/Z}$

surjektiv.

• Die Fasern von f über Punkten $y\in Y$ sind disjunkte Vereinigungen von Spektren endlicher separabler Körpererweiterungen von κ(y).
• Die Diagonale $X\to X\times_YX$ ist eine offene Einbettung.
• Ist T ein affines Schema und T₀ ein abgeschlossenes Unterschema, das durch eine nilpotente Idealgarbe definiert wird, so ist die induzierte Abbildung

$\mathrm{Hom}_Y(T,X)\to\mathrm{Hom}_Y(T_0,X)$

injektiv.

Der Morphismus f heißt unverzweigt im Punkt $x\in X$, wenn es eine offene Umgebung U von x in X gibt, so dass f | _U unverzweigt ist. Unverzweigtheit in einem Punkt x kann auch anders charakterisiert werden (es sei y = f(x)):^[14]

• $\Omega^1_{X/Y,x}=0$
• Die Diagonale $X\to X\times_YX$ ist ein lokaler Isomorphismus bei x.
• $\mathcal O_{X,x}/\mathfrak m_y\mathcal O_{X,x}$ ist ein Körper, der eine endliche separable Erweiterung von κ(y) ist.

Die Unverzweigtheit von f im Punkt x hängt nur von der Faser f ^{− 1}(y) ab.

Eigenschaften

• Unverzweigte Morphismen sind lokal quasiendlich.^[15]
• Ist Y zusammenhängend und $f\colon X\to Y$ unverzweigt und separiert, so entsprechen die Schnitte von f eineindeutig den Zusammenhangskomponenten von X, die durch f isomorph auf Y abgebildet werden.^[16]

Bedeutung

Algebraische Geometrie

Ist X ein Schema über einem diskret bewerteten Körper K mit Bewertungsring V, so werden häufig Modelle von X über V betrachtet, d. h. Schemata $\mathcal X$ über V mit $X\cong\mathcal X\otimes_VK$. Ist nun L / K eine unverzweigte Erweiterung und W der Bewertungsring von L, so ist der Morphismus $\mathrm{Spec}\,W\to\mathrm{Spec}\,V$ und damit auch der Morphismus $\mathcal X_W:=\mathcal X\otimes_VW\to\mathcal X$ étale und surjektiv, folglich übertragen sich viele Eigenschaften von $\mathcal X$ auf das Modell $\mathcal X_W$ von X_L.

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.
• A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l’IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)

Quellen

1. ↑ Neukirch, a.a.O., Satz (II.8.5), S. 173
2. ↑ Neukirch, a.a.O., Theorem (II.6.2), S. 150
3. ↑ Neukirch, a.a.O., Satz (II.6.8), S. 157
4. ↑ Neukirch, a.a.O., Satz (II.9.9), S. 181
5. ↑ Neukirch, a.a.O., Satz (II.9.11), S. 182
6. ↑ Neukirch, a.a.O., Satz (I.8.1), S. 47
7. ↑ Neukirch, a.a.O., Satz (I.8.2), S. 48
8. ↑ Neukirch, a.a.O., Satz (I.8.4), S. 52
9. ↑ Neukirch, a.a.O., Korollar (III.2.12), S. 213
10. ↑ Neukirch, a.a.O., Theorem (III.2.6), S. 210
11. ↑ Neukirch, a.a.O., Satz (III.2.18), S. 218
12. ↑ Neukirch, a.a.O., Aufgabe I.9.2, S. 61, sowie Abschnitt VI.7, S. 424ff.
13. ↑ EGA IV, 17.4.2, 17.2.2, 17.1.1, 17.3.1
14. ↑ EGA IV, 17.4.1
15. ↑ EGA IV, 17.4.3
16. ↑ EGA IV, 17.4.9