Präregulärer Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind präreguläre Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Sie erfüllen das Trennungsaxiom R₁.

Definition

Dieser Artikel verwendet den Begriff normal aus der Topologie. Wir verstehen unter einem normalen Raum einen topologischen Raum, in dem je zwei disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Umgebungen besitzen. Neben dieser existieren in der Literatur auch andere Konventionen. Für weitere Details siehe Trennungsaxiom.

Sei X ein topologischer Raum. Zwei Punkte x und y in X heißen topologisch unterscheidbar, falls eine offene Menge existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält. Weiter heißen sie durch Umgebungen getrennt, falls sie disjunkte offene Umgebungen besitzen.

X heißt präregulärer Raum, falls zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte durch Umgebungen getrennt sind. Präreguläre Räume heißen auch R₁-Räume. Man sagt auch, dass sie das Trennungsaxiom R₁ erfüllen.

Eigenschaften

Ein topologischer Raum ist genau dann präregulär, wenn der Kolmogoroff-Quotient KQ(X) von X ein Hausdorff-Raum ist.

Erfüllt ein präregulärer Raum zusätzlich Kompaktheitsbedingungen, so erfüllt er meistens weit stärkere Trennungsaxiome. So ist zum Beispiel jeder präreguläre lokalkompakte Raum vollständig regulär. Kompakte präreguläre Räume sind sogar normal.