Pseudo-Magma

Ein Pseudo-Magma (neutrum, Mehrzahl Pseudo-Magmen), partielles Magma, Pseudo-Gruppoid oder partielles Gruppoid, ist eine algebraische Struktur, die nur aus einer Menge und einer auf ihr erklärten partiellen, zweistelligen inneren Verknüpfung besteht. Es ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes des Magmas bzw. Gruppoids, in dem die innere Verknüpfung nicht mehr partiell sein darf.

Genauso wie eine totale innere Verknüpfung ist auch die partielle innere Verknüpfung des Pseudo-Magmas per Definition abgeschlossen über der Grundmenge. Weitere Eigenschaften werden in der Definition des Pseudo-Magmas nicht gefordert. Andersherum wird eine Menge mit einer nicht-abgeschlossenen zweistelligen Verknüpfung zu einem Pseudo-Magma, wenn man die Verknüpfung auf die im Inneren der Menge verknüpfbaren Elemente beschränkt, das heißt auf die Elemente deren Verknüpfungsergebnis wieder in der Ausgangsmenge liegt.

Das Pseudo-Magma heißt assoziativ, kommutativ usw., je nachdem, ob die zugehörige Verknüpfung diese Eigenschaften hat.

Beispiele

• Ein Beispiel eines assoziativen Pseudo-Magmas findet sich bei den sogenannten kleinen Kategorien, in denen die Klasse der Pfeile eine Menge ist. Diese Menge bildet zusammen mit der für Pfeile erklärten Verknüpfung ein assoziatives Pseudo-Magma. – Die formale Voraussetzung, dass die Kategorie klein sein muss, ist jedoch meist vernachlässigbar. In der Regel lassen sich alle Erkenntnisse über Pseudo-Magmen auch auf die Klasse der Pfeile mit der zugehörigen Verknüpfung übertragen.

• Auch jede beliebige Menge M von Abbildungen wird vermöge der Hintereinanderausführung als Komposition $\circ\colon M\times M\to M, (\operatorname f,\operatorname g)\mapsto\operatorname f\circ\operatorname g$ zu einem assoziativen Pseudo-Magma $(M,\circ).$

• Formale Sprachen sind im Allgemeinen assoziative Pseudo-Magmen in Bezug auf die Verkettung (Hintereinanderschreibung) als Verknüpfung. Die sogenannte *-Sprache Σ ^* (sprich: „Stern-Sprache“, vgl. Kleene-Stern) über einem Alphabet Σ ist zwar zunächst eine Halbgruppe (sogar ein Monoid), da in ihr die Verkettung zweier Worte zu einem neuen Wort erklärt ist und das neue Wort wieder in der Sprache liegt. Formale Sprachen sind aber als beliebige Untermengen beliebiger solcher *-Sprachen definiert, so dass in einer speziellen Sprache die Verkettung zweier Worte zwar immer noch erklärt/erklärbar ist, jedoch zu keinem Wort derselben Sprache führt.

Quellen

• Yoshifumi Inui, François Le Gall: Quantum Property Testing of Group Solvability. S. 2 (Definition am Anfang von § 2.1, PDF 64kB, abgerufen am 22. Dezember 2007).