Radon-Nikodym-Dichte

In der Mathematik verallgemeinert der Satz von Radon-Nikodym die Ableitung auf signierte Maße. Er gibt Auskunft über die Darstellbarkeit eines signierten Maßes $\nu\!$ durch das Lebesgue-Integral einer Funktion $f\!$ und ist von zentraler Bedeutung sowohl für die Maß- als auch die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Sei μ ein σ-endliches Maß auf dem Messraum $(X,\mathcal{A})$ und sei ν absolut stetig bezüglich μ ($\nu \ll \mu$) für ein signiertes Maß ν.

Dann gibt es eine Funktion f, so dass

$\forall E \in \mathcal{A}: \nu(E) = \int_{E} f \mathrm{d}\mu$

Ist g eine weitere Funktion mit dieser Eigenschaft, so stimmt sie μ-fast überall mit f überein.

f wird als (Radon-Nikodym-)Dichte oder Radon-Nikodym-Ableitung von ν bezüglich μ bezeichnet und in Analogie zur Differentialrechnung als $\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}$ geschrieben.

Benannt ist der Satz nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon, der 1913 den Spezialfall $\R^n$ bewiesen hat, und nach Otton Marcin Nikodym, der den allgemeinen Fall 1930 bewiesen hat.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie, Springer-Verlag.
• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-72533-6.