Radon-Transformation

Die Radon-Transformation ist eine Integraltransformation einer Funktion in zwei Variablen. Es wird das Integral der Funktion f(x,y) längs aller Geraden der x,y-Ebene bestimmt. Für jede dieser Geraden kann man sich die Radon-Transformierte Rf als eine Projektion der Funktion f(x,y) auf die Senkrechte zu dieser Gerade vorstellen (siehe Bild). Die Radon-Transformation in zwei Dimensionen ist eine Verallgemeinerung der Abel-Transformation und Spezialfall der Hough-Transformation.

Die Radon-Transformation ist nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon benannt. Er führte sie 1917 in der Veröffentlichung Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten ein.^[1]

Definition

Radontransformation einer Funktion, die innerhalb der grauen Bereiche gleich eins ist, sonst null: Die Radontransformierte für einen festen Winkel α ist blau eingezeichnet.

Sei $f\colon\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ stetig und außerhalb eines Kreises von endlichen Radius identisch Null und sei γ eine Gerade, die durch den Winkel α zur y-Achse und ihren Abstand r zum Ursprung definiert ist. Dann ist die Radon-Transformation gegeben durch das Linienintegral von f(x,y) entlang γ.

$Rf(\gamma) = \int_\gamma f(x,y)\,ds$

Die Gerade γ lässt sich parametrisieren als (x(t),y(t)) = (rcos α + tsin α,rsin α − tcos α). Damit lässt sich das Linienintegral auch schreiben als

$Rf(r,\alpha) = \int_{-\infty}^{\infty} f(r \cos \alpha + t \sin \alpha, r \sin \alpha - t \cos \alpha)\, \mathrm{d}t.$

Rücktransformation

Die Rücktransformation kann mit Hilfe der gefilterten Rückprojektion oder über den Umweg der Fourier-Transformation erfolgen.

Das Problem der Rücktransformation ist ein schlecht gestelltes Problem,^[2] weil die Lösung keine stetige Funktion der Eingangsdaten ist. Um das Problem dennoch hinreichend genau zu lösen, können Regularisierungstechniken oder iterative Verfahren angewandt werden.

Anwendung der Radon-Transformation

In der Tomographie werden die Integrale einer Funktion über Geraden bestimmt und mittels inverser Radonprojektion daraus Bilder berechnet. Beispielsweise wird in der Computertomographie mit Röntgenstrahlung die Absorption der Strahlung längs einer Geraden von der Röntgenquelle zu einem Detektor, also das Integral über die Absorption, bestimmt. Die Messung erfolgt für sehr viele solche Geraden in einer Ebene (viele Detektoren und viele Positionen der Röntgenquelle, die um den Patienten bewegt wird). Es wird also die Radontransformation der Röntgenabsorption bestimmt (wenn auch nur für endlich viele Werte der beiden Parameter). Aus diesen Werten lässt sich mit Hilfe der Rücktransformation das zweidimensionale Bild gewinnen. Das Aneinanderreihen mehrerer solcher zweidimensionaler „Schnittbilder“ ergibt ein dreidimensionales Bild.

Einzelnachweise

1. ↑ Johann Radon: Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse, Band 69, 1917, Seiten 262–277
2. ↑ A. K. Louis: Inverse und schlecht gestellte Probleme. Teubner, 1989 (Kap. 6.1 und 6.2)

Weblinks

• Anwendung der Radon-Transformation für CT-Aufnahmen (PDF-Datei; 4,07 MB)
• MathWorld-Seite
• Weiterführende Erklärungen