Rechteckfunktion

Rechteckfunktion

Die Rechteckfunktion, auch rect-Funktion, ist eine unstetige mathematische Funktion mit folgender Definition:

$\operatorname{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases} 0 & \text{wenn } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2} & \mbox{wenn } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt] 1 & \text{wenn } |t| < \frac{1}{2}. \end{cases}$

Alternative Definitionen, welche vor allem im Bereich der Signalverarbeitung üblich sind, legen die Rechteckfunktion etwas abweichend fest als: ^[1]

$\operatorname{rect_d}(t) = \begin{cases} 1 & \text{wenn } |t| \le \frac{1}{2} \\[3pt] 0 & \text{wenn } |t| > \frac{1}{2}. \end{cases}$

Die Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe der Heaviside-Funktion u ausgedrückt werden als:

$\operatorname{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot u \left( \frac{1}{2} - t \right) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) - u \left( t - \frac{1}{2} \right),\,$

Die Fourier-Transformation der Rechteckfunktion ergibt die si-Funktion:

$\begin{align} \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\} &= \mathrm{si}(f) . \end{align}$

Ableitung

Die Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Allerdings ist eine Distributionenableitung durch die diracsche Delta-Distribution δ möglich:

$\operatorname{rect}\,' (t) = \delta \left(t + \frac{1}{2} \right) - \delta \left(t - \frac{1}{2} \right)$

Zusammenhänge

Die Faltung zweier Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion, die Integration eine Rampenfunktion. Eine Form mit periodischer Fortsetzung der Rechteckfunktion sind die Rademacherfunktionen.

Einzelnachweise

1. ↑ Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. 6. Auflage. Springer Verlag, 1995, ISBN 3-540-54824-6, S. 2.