Dreiecksfunktion

Dreieckfunktion

Die Dreieckfunktion, auch tri-Funktion, triangle-Funktion oder tent-Funktion, ist eine mathematische Funktion mit folgender Definition:

$\begin{align} \operatorname{tri}(t) = \and (t) \quad &\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \max(1 - |t|, 0) \\ &= \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{ansonsten} \end{cases} \end{align}$.

Sie kann dazu gleichwertig auch über die Faltung mit der Rechteckfunktion rect definiert werden, wie es auch in nebenstehender Abbildung anschaulich dargestellt ist:

$\begin{align} \operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad &\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(\tau-t)\ d\tau \end{align}$.

Faltung zweier Rechteckfunktionen ergibt die Dreieckfunktion

Durch einen Parameter a ≠ 0 kann die Dreieckfunktion skaliert werden:

$\begin{align} \operatorname{tri}(t/a) &= \begin{cases} 1 - |t/a|, & |t| < |a| \\ 0, & \mbox{ansonsten} . \end{cases} \end{align}$

Die Dreieckfunktionen findet vor allem im Bereich der Signalverarbeitung zur Darstellung von idealisierten Signalverläufen Anwendung. Sie dient dort neben der Gauß-Funktion, der Heaviside-Funktion und der Rechteckfunktion zur Beschreibung von Elementarsignalen. Technische Anwendungen liegen im Bereich von Optimalfiltern oder bei Fensterfunktionen wie dem Bartlett-Fenster.

Die Fourier-Transformation der Dreieckfunktion ergibt die quadrierte si-Funktion:

$\begin{align} \mathcal{F}\{\operatorname{tri}(t)\} &= \mathrm{si}^2(f) . \end{align}$

Allgemeine Form

Im Allgemeinen möchte man die Dreiecksfunktion skalieren. Von Interesse sind hierbei die Streckung in x-Richtung, sowie die Höhe an der Spitze. Für die Streckung ist T die halbe Periodendauer, also die Distanz vom Beginn der Dreieckfunktion bis zum Mittelpunkt t₀. Die Höhe an der Stelle t₀ ist durch

$a \cdot \operatorname{tri}\left(\frac{t-t_0}{T}\right)$

gegeben.

Ableitung

Die Ableitung der Dreiecksfunktion stellt eine Summe von zwei Rechteckfunktionen rect dar:

$\frac{a}{T}\left(\operatorname{rect}\left(\frac{t-(t_0-T/2)}{T}\right) - \operatorname{rect}\left(\frac{t-(t_0+T/2)}{T}\right)\right)$

welche sich auch als Summe von drei Sprungfunktionen ε darstellen lassen:

$\frac{a}{T}\left(\operatorname{\epsilon}(t-(t_0-T)) - 2 \operatorname{\epsilon}(t-t_0) + \operatorname{\epsilon}(t-(t_0+T)) \right),$

wobei 2T die Periodendauer, t₀ den Mittelpunkt und a die Höhe der Dreiecksfunktion darstellen. Der Vorfaktor $\frac{a}{T}$ tritt daher als Steigung der Dreieckfunktion in der Ableitung auf.

Quelle

• Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. 6. Auflage. Springer Verlag, 1995, ISBN 3-540-54824-6.