Regulär (Maßtheorie)

Der Begriff der Regularität von Maßen dient der Charakterisierung von Borel-Maßen auf topologischen Räumen.

Definition: Sei $\mathfrak{A}$ eine σ-Algebra, die die Borelsche σ-Algebra enthält und $\mu:\mathfrak{A}\rightarrow[0,\infty]$ ein Maß.

μ heißt von innen regulär, falls für jedes $A\in\mathfrak{A}$ gilt:

$\mu(A)=\sup \{ \mu(K):K\subset A,\ K\ \textrm{kompakt} \}$

μ heißt von außen regulär, falls für jedes $A\in\mathfrak{A}$ gilt:

$\mu(A)=\inf \{ \mu(U):A\subset U,\ U\ \textrm{offen} \}$

μ heißt regulär, wenn es von innen und von außen regulär ist.

Reguläre Maße erlauben in vielen Beweisen Approximationsargumente. Oft genügt es, gewisse Aussagen für kompakte oder offene Mengen zu zeigen, und diese dann durch die beiden Formeln auf messbare Mengen zu erweitern. Viele Maße sind regulär.

• Das Lebesgue-Maß auf dem ${\mathbb R}^n$ ist regulär.

• Allgemeiner gilt: Ist X ein lokalkompakter Hausdorffraum, der abzählbare Vereinigung kompakter Mengen ist, und ist μ ein Borel-Maß auf X, das auf allen kompakten Mengen endlich ist, so ist μ regulär.

• Ein endliches Borelmaß auf einem polnischen Raum ist regulär.

Quellen

• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie. 4. Auflage. DeGruyter, Berlin 1991, ISBN 3-11-012191-3.