Reuleaux-Dreieck

Das Reuleaux-Dreieck ist das einfachste nicht triviale Beispiel eines Gleichdicks: eine Kurve konstanter Breite – als Breite wird hier der Abstand der Punkte einer Seite zur jeweils gegenüberliegenden Ecke bezeichnet. Das Reuleaux-Dreieck ist nach Franz Reuleaux, einem deutschen Ingenieur des 19. Jahrhunderts benannt, der Pionierarbeit auf dem Gebiet der Getriebelehre leistete.

Ein Reuleaux-Dreieck

Um ein Reuleaux-Dreieck zu konstruieren, fängt man mit einem gleichseitigen Dreieck an. Um jeden Eckpunkt wird ein Kreis gezeichnet, der durch die beiden jeweils gegenüberliegenden Eckpunkte geht. Der Durchschnitt (d.i. die gemeinschaftliche Fläche) der drei Kreise bildet das Reuleaux-Dreieck.

Dem Blaschke-Lebesgue-Theorem nach hat das Reuleaux-Dreieck die kleinste Fläche aller Gleichdicke.

Das Reuleaux-Dreieck kann verallgemeinert werden zu regelmäßigen Polygonen mit 2n + 1 Seiten. Siehe Bogenvieleck.

Da alle Durchmesser die gleiche Länge haben, ist das Reuleaux-Dreieck – eigentlich alle Reuleaux-Polygone – die nicht-offensichtliche Antwort auf die Frage „Welche Form muss ein Kanaldeckel haben, damit er nicht durchs Loch fallen kann?“ Die offensichtliche Antwort ist der Kreis.

Flächeninhalt

Bei der Berechnung des Flächeninhalts eines Reuleaux-Dreiecks "R", bei dem das zur Konstruktion benötigte, gleichseitige Dreieck "ABC" den Radius "r" besitzt, so benötigt man zunächst den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks, den man so berechnet:

$A_ \text{ABC}= \frac{ \sqrt 3 }{4} r^2 \!\,$.

Außer dem Dreieck "ABC" besteht ein Relaux Dreieck aus drei Kreissegmenten, die stets den Öffnungswinkel

$\theta = \frac {\pi}{3} \!\,$

besitzen (entsprechend einem Sechstel Vollkreis, also 60°).
Somit ist der Flächeninhalt eines der drei Kreissegmente "A_s"

$\begin{align} A_s & = \frac 12 r^2 ( \theta - \sin \theta) \\ & = \left ( \frac {\pi}{6} - \frac{ \sqrt 3 }{4} \right ) r^2 \\ \end{align} \!\,$.

Der Flächeninhalt des Reuleaux-Dreiecks ist folglich:

$\begin{align} A_R & = 3 A_s + A_ \text{ABC} \\ & = \frac 12 (\pi - \sqrt 3 ) r^2 \\ \end{align} \!\,$.

Umfang

Ist r die Seitenlänge des zugrundeliegenden Dreiecks "ABC" (gleichbedeutend mit der Breite), berechnet sich der Umfang des Reuleaux-Dreiecks zu

$u = r \cdot \pi$

Dreidimensionale Verallgemeinerung

Ein Reuleaux-Tetraeder

Die Schnittmenge von Kugeln mit Radius s, deren Mittelpunkte auf den Ecken eines regelmäßigen Tetraeders mit Seitenlänge s liegen, wird Reuleaux-Tetraeder genannt.

Im Gegensatz zum Reuleaux-Dreieck haben die Durchmesser des Reuleaux-Tetraeders nicht alle die gleiche Länge. So ist der Durchmesser, der durch die beiden Punkte führt, die sich kantenmittig auf zwei einander gegenüber liegenden Kanten des Körper befinden, größer als s – ihr Abstand beträgt

$\left(\sqrt3 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot s \approx 1{,}0249 \cdot s$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Reuleaux Triangle. In: MathWorld. (englisch)
• Eric W. Weisstein: Reuleaux Tetrahedron. In: MathWorld. (englisch)
• Bewegung eines Reuleaux-Dreiecks interaktiv
• Film zum Reuleaux-Dreieck, inkl. Wankelmotor und Mitnehmer in Filmprojektoren (russisch, allerdings kein nennenswerter Text und ganz ohne Ton)
• Weitere Ausführungen zur dreidimensionalen Verallgemeinerung