Satz von Cauchy-Hadamard

Der Konvergenzbereich ist in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einer Funktionenreihe zugeordnet und bezeichnet die Menge aller derjenigen Punkte im Definitionsbereich, in dem die Funktionenreihe absolut konvergiert. Insbesondere für Potenzreihen ist der Konvergenzbereich eine Kreisscheibe um den Entwicklungspunkt, deren Radius Konvergenzradius genannt wird.

Definition

Sei (M,d) ein metrischer Raum und (E,||.||) ein Banachraum. Es sei eine Folge von stetigen Funktionen $f_n:M\to E$ gegeben. Dann

• konvergiert die Reihe $\sum_{n=0}^\infty f_n$ im Punkt $x\in M$, falls die Folge der Partialsummen <S_k(x)>, $S_k(x):=\sum_{n=0}^k f_n$, die eine Punktfolge im Wertebereich E ist, konvergiert.
• konvergiert die Reihe $\sum_{n=0}^\infty f_n$ absolut im Punkt $x\in M$, falls die Zahlenreihe über die Normen der Summanden $\sum_{n=0}^\infty \|f_n(x)\|$ konvergiert.

Die kleinste abgeschlossene Menge, die alle Punkte $x\in M$ des Definitionsbereichs enthält, in denen absolute Konvergenz vorliegt, wird Konvergenzbereich genannt.

Bemerkung: In Randpunkten dieser Menge muss keine absolute Konvergenz vorliegen, die entsprechende Reihe im Wertebereich kann auch divergent sein.

Majorantenkriterium

1. Gibt es eine konvergente Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n$ mit positiven reellen Gliedern und ein Gebiet $G\subset M$ mit $\|f_n\|\le a_n$ für alle $x\in G$ und alle $n\in\N$, so ist G eine Teilmenge des Konvergenzbereichs. Die Konvergenz ist auf G gleichmäßig, damit ist die durch die Reihe auf G definierte Funktion F auf G stetig.
2. Ist $\sum_{n=0}^\infty b_n$ eine divergente Reihe mit positiven reellen Gliedern und gilt auf einem Gebiet D⊆M ||f_n(x)||>b_n für alle x∈D und alle n∈ℕ, so ist G eine Teilmenge im Komplement des Konvergenzbereichs.

• Siehe auch: Majorantenkriterium

Anwendung auf komplexe Potenzreihen – Satz von Cauchy-Hadamard

Sei $M=\mathbb C$, $E=\mathbb C$ und $f_n(x)=c_n\cdot x^n$ mit $c_n\in\mathbb C$ für jedes $n\in\N$, d.h. die Funktionenreihe $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$ sei eine komplexe Potenzreihe. Dann gilt:

1. Die offene Kreisscheibe B(0,r) um den Nullpunkt mit Radius r>0 gehört zum Konvergenzbereich, falls |c_n|∙rⁿ<1 für fast alle $n\in\N$ erfüllt ist.
2. Das Komplement der Kreisscheibe B(0,R) liegt außerhalb des Konvergenzbereichs, wenn |c_n|∙Rⁿ>1 für unendlich viele $n\in\N$ gilt.
3. Der Konvergenzbereich ist eine Kreisscheibe um den Nullpunkt mit dem Konvergenzradius $r=(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|})^{-1}$, falls diese Zahl existiert. Andernfalls ist der Konvergenzbereich ganz $\mathbb C$.

Beispiele

$\exp(z):=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$ konvergiert überall absolut.

$\sum_{n=0}^\infty\frac{a(a-1)\dots(a-n+1)}{n!}z^n$ konvergiert in der Einheitskreisscheibe absolut gegen (1 + z)^a