Majorantenkriterium

Majorantenkriterium

Das Majorantenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert.

Inhaltsverzeichnis

Formulierung des Kriteriums

Sei eine unendliche Reihe

S = \sum_{n=0}^\infty a_n

mit reellen oder komplexen Summanden an gegeben. Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe

T = \sum_{n=0}^\infty b_n

mit nichtnegativen reellen Summanden bn und gilt für fast alle n:

|a_n| \le b_n,

dann ist die Reihe S absolut konvergent. Man sagt, die Reihe S wird von T majorisiert oder T ist die Majorante von S.

Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das Minorantenkriterium: Sind S und T Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden an bzw. bn, und gilt

a_n \ge b_n

für fast alle n, dann folgt: Ist T diesmal divergent, dann ist auch S divergent.

Beweis

Konvergiert die Reihe T = \sum_{\nu=0}^\infty b_\nu, dann gibt es zu jedem \varepsilon > 0 ein  N \in \mathbb{N}, so dass \sum _{\nu=n}^m b_\nu < \varepsilon für alle  m \ge n > N gilt (Cauchykriterium).

Aus |a_\nu| \le b_\nu folgt \Big|\sum_{\nu=n}^m a_\nu\Big| \le \sum_{\nu=n}^m b_\nu < \varepsilon. Daraus folgt die (absolute!) Konvergenz von S = \sum_{\nu=0}^\infty a_\nu nach dem Cauchykriterium.

Beispiel

Die geometrische Reihe

T=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\dots

ist konvergent. Wegen \frac{1}{2^n+1}\le\frac{1}{2^n} konvergiert somit auch die Reihe

S=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{17}+\dots.

Anwendungen

Das Majorantenkriterium wird auch als allgemeinste Form eines Vergleichskriteriums 1. Art bezeichnet, alle weiteren ergeben sich durch das Einsetzen konkreter Reihen für T=\sum_{n=0}^\infty b_n. Am prominentesten sind dabei das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium, in welchen die geometrische Reihe als Vergleichsreihe gewählt wird.


Ebenfalls lässt sich aus dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium das Cauchysche Verdichtungskriterium herleiten, mit dem sich beispielsweise zeigen lässt, dass die harmonische Reihe

S_n = \sum_{k=1}^n \frac1{k^\alpha}

konvergent für α > 1 und divergent für 0<\alpha\leq 1 ist.

Das Majorantenkriterium kann auf den Fall normierter Vektorräume ausgedehnt werden, es besagt dann, dass falls \|a_n\|\le b_n für fast alle n gilt, die Partialsummenfolge von S = \sum_{n=0}^\infty a_n eine Cauchy-Folge ist. Ist der Raum vollständig, d.h. ein Banachraum, so konvergiert S, falls T konvergiert. Insbesondere folgt daraus der Fixpunktsatz von Banach, der in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt wird.

Siehe auch

Literatur


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Konvergenzkriterien — In der Analysis ist ein Konvergenzkriterium ein Kriterium, mit dem die Konvergenz einer unendlichen Reihe bewiesen werden kann. Insbesondere sind damit Kriterien für die Konvergenz einer reellen Reihe gemeint. Mit einigen dieser Kriterien kann… …   Deutsch Wikipedia

  • Trivialkriterium — In der Analysis ist ein Konvergenzkriterium ein Kriterium, mit dem die Konvergenz einer unendlichen Reihe bewiesen werden kann. Insbesondere sind damit Kriterien für die Konvergenz einer reellen Reihe gemeint. Mit einigen dieser Kriterien kann… …   Deutsch Wikipedia

  • Cauchy-Hadamard — Der Konvergenzbereich ist in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einer Funktionenreihe zugeordnet und bezeichnet die Menge aller derjenigen Punkte im Definitionsbereich, in dem die Funktionenreihe absolut konvergiert. Insbesondere für… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Cauchy-Hadamard — Der Konvergenzbereich ist in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einer Funktionenreihe zugeordnet und bezeichnet die Menge aller derjenigen Punkte im Definitionsbereich, in dem die Funktionenreihe absolut konvergiert. Insbesondere für… …   Deutsch Wikipedia

  • Endliche Reihe — In der Mathematik ist eine (unendliche) Reihe eine Folge, deren Glieder (Partialsummen) als Summen der ersten n Glieder einer anderen Folge gegeben sind. Inhaltsverzeichnis 1 Nomenklatur 2 Beispiele 3 Konvergenzkriterien 3.1 Beispiele …   Deutsch Wikipedia

  • Majorante — Das Majorantenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beweis 3 Beispiel 4 …   Deutsch Wikipedia

  • Majoranten-Kriterium — Das Majorantenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beweis 3 Beispiel 4 …   Deutsch Wikipedia

  • Minoranten-Kriterium — Das Majorantenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beweis 3 Beispiel 4 …   Deutsch Wikipedia

  • Minorantenkriterium — Das Majorantenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beweis 3 Beispiel 4 …   Deutsch Wikipedia

  • Partialsumme — In der Mathematik ist eine (unendliche) Reihe eine Folge, deren Glieder (Partialsummen) als Summen der ersten n Glieder einer anderen Folge gegeben sind. Inhaltsverzeichnis 1 Nomenklatur 2 Beispiele 3 Konvergenzkriterien 3.1 Beispiele …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”