Satz von Clairaut (Differentialgeometrie)

Der Satz von Clairaut (benannt nach Alexis-Claude Clairaut) ist eine Aussage der klassischen Differentialgeometrie.

Aussage

Sei S eine Rotationsfläche und $c : ]a,b[ \to S$ mit $s \mapsto c(s)$ eine reguläre Kurve auf S. Es bezeichne r(s) den Radius des Breitenkreises durch c(s) sowie α(s) den Schnittwinkel der Kurve mit diesem Breitenkreis. Dann gelten:

• Ist c eine geodätische Linie, so ist die Funktion $r \cos\alpha\,$ längs c konstant.
• Ist $r \cos\alpha\,$ längs c konstant und c kein Breitenkreis, so ist c eine geodätische Linie.

Beweis

Sei $(u, v) \rightarrow (r(v)\cos u, r(v)\sin u, h(v))$ eine Parametrisierung der Fläche S, wobei wir o. B. d. A. v als Bogenlänge der erzeugenden Kurve (r(v),h(v)) annehmen können. Damit berechnen wir die Koeffizienten der 1. Fundamentalform zu

E(u,v) = (r(v))², F(u,v) = 0, G(u,v) = 1.

Sei $s \rightarrow \vec c(s)$ o. B. d. A. nach der Bogenlänge s parametrisiert. Um den Satz von Liouville anwenden zu können, berechnen wir explizit die geodätischen Krümmungen der u-Linien (Breitenkreise) und v-Linien (Meridiane):

$\kappa_{g,u} = -\frac{1}{r} \frac{dr}{dv}, \qquad \kappa_{g,v} = 0.$

Daraus ergibt sich die geodätische Krümmung der Kurve $\vec c$ zu

$\kappa_g = -\frac{1}{r} \frac{dr}{dv} \cos\alpha + \frac{d\alpha}{ds}.$ (1)

Differenzieren der Funktion $C(s) = r(\vec c(s))\cos\alpha(s)$ liefert:

$\frac{dC}{ds} = \frac{dr}{dv} \frac{dv}{ds} \cos\alpha - r\sin\alpha\cdot\frac{d\alpha}{ds}.$

Mit $\frac{dv}{ds} = \frac{\sin\alpha}{\sqrt G}$ folgt aus (1)

$\frac{dC}{ds} = -r\sin\alpha\cdot\kappa_g$

und damit die Behauptung.

Anwendung in der Landesvermessung

In der Landesvermessung stellt sich das Problem, zu gegebenem Anfangspunkt und -richtung eine geodätische Linie zu berechnen, die sogenannte erste geodätische Hauptaufgabe.

Seien a und b die Halbachsen des Referenzellipsoids und e² = (a² − b²) / a² das Quadrat der (ersten) numerischen Exzentrizität. Der Radius des Breitenkreises mit der ellipsoidischen Breite ϕ beträgt

$P(\phi) = N(\phi) \cos\phi = \frac{a}{\sqrt{1 - e^2\sin^2\phi}} \cos\phi.$

Als Azimut bezeichnet man den Schnittwinkel der Linie mit der Nordrichtung. Damit folgt aus dem Satz von Clairaut die Konstanz von

$\frac{a}{\sqrt{1 - e^2\sin^2\phi}} \cos\phi \sin A$

entlang der Geodätischen. Führt man die reduzierte Breite β gemäß der Formel $\tan\beta = \sqrt{1-e^2} \tan\phi$ ein, so folgt die Konstanz von

cos βsin A.

Dieser Wert heißt die clairautsche Konstante der geodätischen Linie.

Literatur

• Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Band 3), Publish or Perish Press, Berkeley 1999, ISBN 0-914098-72-1, S. 214 - 216