Satz von Hellinger-Toeplitz
- Satz von Hellinger-Toeplitz
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Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt.
Formulierung
Es seien H ein Hilbertraum und
ein symmetrischer (hermitescher) linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle
die Gleichung
![\langle Tx,y \rangle = \langle x,Ty \rangle](5/aa55b3eae94ced7cd1ccc6759c90af99.png)
erfüllt. Dann ist T stetig.
Beweis
Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, folgendes zu zeigen: Ist
eine Nullfolge und
. dann ist y = 0. Verwendet man die Stetigkeit des Skalarproduktes auf H, dann folgt
![\langle y,y\rangle = \langle \lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n,y \rangle = \lim_{n \rightarrow \infty} \langle Tx_n,y \rangle = \lim_{n \rightarrow \infty} \langle x_n,Ty \rangle = \langle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n,Ty \rangle = \langle 0,Ty \rangle = 0,](3/22354fcee9121c2436ddd5645d7a62b0.png)
also y = 0.
Folgerungen
- Da der Operator T linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
- Jeder symmetrische (hermitesche), überall auf H definierte Operator ist selbstadjungiert.
- Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.
Verallgemeinerung
Man kann die Bedingung im Satz von Hellinger-Toeplitz abschwächen:
Es seien H1 und H2 Hilberträume und
ein linearer Operator, der ein Adjungiertes besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator
, der für alle
und
die Gleichung
![\langle Tx,y \rangle = \langle x,Sy \rangle](e/c0eaea89f4acb74d9f5ae885deaeed0f.png)
erfüllt. Dann sind T und S stetig.
Der Beweis geht analog.
Literatur
- Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)
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