Satz von Hellinger-Toeplitz

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt.

Formulierung

Es seien H ein Hilbertraum und $T : H \rightarrow H$ ein symmetrischer (hermitescher) linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle $x,\,y \in H$ die Gleichung

$\langle Tx,y \rangle = \langle x,Ty \rangle$

erfüllt. Dann ist T stetig.

Beweis

Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, folgendes zu zeigen: Ist $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ eine Nullfolge und $y := \lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n$. dann ist y = 0. Verwendet man die Stetigkeit des Skalarproduktes auf H, dann folgt

$\langle y,y\rangle = \langle \lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n,y \rangle = \lim_{n \rightarrow \infty} \langle Tx_n,y \rangle = \lim_{n \rightarrow \infty} \langle x_n,Ty \rangle = \langle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n,Ty \rangle = \langle 0,Ty \rangle = 0,$

also y = 0.

Folgerungen

• Da der Operator T linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
• Jeder symmetrische (hermitesche), überall auf H definierte Operator ist selbstadjungiert.
• Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.

Verallgemeinerung

Man kann die Bedingung im Satz von Hellinger-Toeplitz abschwächen:

Es seien H₁ und H₂ Hilberträume und $T : H_1 \rightarrow H_2$ ein linearer Operator, der ein Adjungiertes besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator $S : H_2 \rightarrow H_1$, der für alle $x\in H_1$ und $y\in H_2$ die Gleichung

$\langle Tx,y \rangle = \langle x,Sy \rangle$

erfüllt. Dann sind T und S stetig.

Der Beweis geht analog.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)